Matematik

Følger og lidt talteori

18. april 2015 af LeonhardEuler - Niveau: B-niveau

Godaften 

Der er vedlagt to opgaver herunder:

Jeg har selv kommet relativt langt med dem begge, dog har jeg lige brug for en hjælpende hånd til at indse det sidste.


Svar #1
18. april 2015 af LeonhardEuler

Jeg kom igennem den første opgave, og jeg vedlægger løsningen herunder til de interesserede: 

Ved at benytte sætningen: 

Lad m ∈ Z være en primisk rest modulo og lad n,a,b ∈ N. Antag at a ≡ b (mod φ(n)). Da er 

    ma = mb (mod n)

Vi ønsker da at regne modulo 10, for at opnå det sidste ciffer. Nu da φ(10) = 4 og gcd(10,7)=1. Kan vi benytte den ovenstående sætning til at beregne eksponenten modulo 4. Da 7m har reste 3 modulo 4 for ulige m 

    \underbrace{7^{7\cdots } }_{1000}\equiv 7^3\equiv 3\ (\textup{mod}\ 10)

Det sidste ciffer er da 3. 


Brugbart svar (1)

Svar #2
18. april 2015 af Andersen11 (Slettet)

I Opg 4 ser man, at

        a2 = a1/2

        a1 + a2 = a1·(1 + 1/2)

        a3 = (a1 + a2)/22 = a1/22·(1 + 1/2)

        a1 + a2 + a3 = (a1 + a2)·(1 + 1/22) = a1·(1 + 1/2)·(1 + 1/22)

        a4 = (a1 + a2 + a3)/23 = a1/23·(1 + 1/2)·(1 + 1/22)

        a1 + a2 + a3 + a4 = (a1 + a2 + a3) + (a1 + a2 + a3)/23 = a1·(1 + 1/2)·(1 + 1/22)·(1 + 1/23)

        a5 = (a1 + a2 + a3 + a4)/24 = a1/24·(1 + 1/2)·(1 + 1/22)·(1 + 1/23)

Heraf finder vi det generelle udtryk

        a_{n+1}=\frac{a_{1}}{2^{n}}\cdot \prod_{k=1}^{n-1}\left (1+\frac{1}{2^{k}}\right )

hvor produktet for n = 1 skal forstås som 1.

For at an+1 skal være et helt tal, skal a1 være et produkt af faktorerne 2n, 2, 22, ..., 2n-1 , dvs 2n(n+1)/2 , som er den mindste værdi a1 skal være for at alle tallene a1, a2, ..., an+1 er hele tal.


Svar #3
18. april 2015 af LeonhardEuler

Med hensyn til den anden opgave har jeg indtil videre fundet ud af at: 

a_{i+1}=\frac{a_1+a_2+...+a_i}{2^i}=\frac{2^{i-1}\cdot \frac{a_1+a_2+...+a_{i-1}}{2^{i-1}}+a_i}{2^i}=\frac{a_i(2^{i-1}+1)}{2^{i}}

Jeg tænker at omskrive an+1 til et stykke, hvorfra man se at for nævneren skal gå op i tællleren må a1 have en bestemt værdi. 

EDIT: Jeg så ikke #2.


Brugbart svar (0)

Svar #4
18. april 2015 af Andersen11 (Slettet)

Med hensyn til den første opgave skal man være opmæksom på, at  (77)7 ikke er det samme tal som 7(7^7) .


Svar #5
18. april 2015 af LeonhardEuler

#2: Genialt. De andre faktorer er netop ulige, hvorfor nævnerne ikke vil kunne gå op i dem, hvorfor a1 skal være produkt af nævneren 2n(n+1)/2

Det vil sige a1 = 22013•1006 

#4: Jeg kunne ikke skrive 7^7^7^7... i latexfunktionen. Det bliver kun til 

7^7^7^7    (kode: "7^7^7^7") 


Brugbart svar (0)

Svar #6
18. april 2015 af Andersen11 (Slettet)

#5

Ja, netop.


Brugbart svar (0)

Svar #7
18. april 2015 af Andersen11 (Slettet)

#5

Du kan se mere om tetration, som gentaget eksponentiering kaldes visse steder, og om bestemmelse af de sidste cifre i visse tetrationer via Eulers teorem her http://en.wikipedia.org/wiki/Tetration#Iterated_powers_vs._iterated_bases.2Fexponentiation

      \newline\newline 7^{7^{7}}=7^{(7^{7})}\neq (7^{7})^{7}\newline\newline 7^{7^{7^{7}}}=7^{[7^{(7^{7})}]}\neq \left [\left (7^{7}\right )^{7}\right ]^{7}


Skriv et svar til: Følger og lidt talteori

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.