Matematik

2pi periodisk funktion

19. april 2015 af rexden1 - Niveau: Universitet/Videregående

Hejsa,

Jeg har en 2pi periodisk funktion defineret i [0; 2pi]

funktinen er givet ved: f(x)=x for 0 $\leq$ x $\leq$ 2pi og f(x)=0 for pi $< x\leq$ 2pi

den er skitseret på [-2pi ; 4pi]

og jeg har vist at den er stykkevis differentiabel og at den dermed konveregere for alle x.

jeg skal nu angive hvad den konvergere mod, og for alle kontinuerte punkter konvergere den mod f(x), hvordan kan jeg skrive det matematisk ?

Kan jeg fx. tage udgangspunkt i et interval og så lægge n*2pi til ?

fx. [-2pi; - pi[ + n*2pi for n $\in$ 0,1,2,3...

Brugbart svar (0)

Svar #1
19. april 2015 af peter lind

Det ser mærkeligt ud. Du har ikke en men 2 funktioner, hvoraf den anden ikke er defineret på hele intervallet. Hvad mener du med at den konvergerer for alle x ? Det er jo faste funktioner.

Den første er en lineær funktion og den vides at være differentiabel for alle x. At definitionsmængden indskrænkes til et interval ændrer ikke på dette. Det gør derimod udvidelsen til at den er periodisk funktionen. Den er hverken kontinuert eller differentiabel i punkterne 2πn n∈Z. Du har lighedstegn i begge ender af definitionsmængden, og det betyder at det er flertydigt hvad funktionen er i disse punkter.

Den anden funktion er konstant og dermed differentiabel overalt. Udvidelsen til en periodisk funktion ændrer slet ikke på funktionen

Svar #2
19. april 2015 af rexden1

Jeg ser hvad du mener, jeg har lavet en fejl i udtrykket.

funktionen er def. som en gammelfunktion: f(x)=x for 0 $\leq$ x $\leq$ pi og f(x) = 0 for pi < x $\leq$ 2pi

Spørgsmålet er så om fourierrækken konvergere for alle x og i bekræftende fald mod hvad.

funktionen er skitseret på intervallet [-2pi; 4pi]

jeg skal nu angive hvad den konvergere mod. Jeg ved, den for alle kontinuerte punkter konvergere mod f(x), hvordan kan jeg skrive det matematisk ?

Giver mit udtryk til sidst i #0 mening for alle kontinuerte punkter ?

Brugbart svar (1)

Svar #3
19. april 2015 af peter lind

Funktionen er diskontinuert i punkterne π+2nπ n∈Z. Lader man x gå mod disse værdier fra venstre får man grænseværdien π. Lader man x gå mod disse værdier fra højre får man grænseværdien 0. Fourier rækken konvergerer så mod (π+0)/2 i disse punkter.

Jeg vil skrive intervallerne som [2nπ; 2π+2nπ[ n∈Z

Svar #4
19. april 2015 af rexden1

ok tak for hjælpen

Svar #5
20. april 2015 af rexden1

Jeg studser lige lidt over dit interval i #3, burde det ikke være:

[2nπ; π + 2nπ[ i stedet ?

hvis jeg bruger dit interval vil jeg bl.a. andet få for n=1 at funktionen er kontinuert i [2π; 4π[, men deri ligger jo også intervallet fra [3π; 4π[ , hvor 3π jo er diskontinuert

Eller tager jeg fejl ?

Brugbart svar (0)

Svar #6
20. april 2015 af Andersen11 (Slettet)

Hvis du tænker på at skrive den samlede forskrift for den funktion f^~(x), som Fourierrækken for f(x) konvergerer mod, kan man skrive den

        f^~(x) = x - 2nπ , for x ∈ [2nπ ; 2nπ+π[
        f^~(x) = π/2 , for x = 2nπ+π
        f^~(x) = 0 , for x ∈ ]2nπ+π ; 2nπ+2π[

hvor n ∈ Z .

Brugbart svar (0)

Svar #7
21. april 2015 af peter lind

#5 Det kommer lidt an på hvilket interval du tænker på. Det jeg har skrevet er for definitionen af f(x) i en hel periode

Skriv et svar til: 2pi periodisk funktion

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.