Matematik

Differentialligning

19. april 2015 af Colgate, (Slettet) - Niveau: A-niveau

Gør rede for, at funktionen f(x)=x^(2)*e^(x) er en løsning til differentialligningen
(dy)/(dx)=((2x)/(x))+y
Jeg har differentieret: f'(x)=2*x*e^(x)

Når jeg så sætter f(x) og f'(x) ind på rette plads, burde det give 0=0, men det får jeg ikke.

Nogen der kan hjælpe?

Brugbart svar (0)

Svar #1
19. april 2015 af mathon

$f{\, }'(x)=2x\cdot e^x+x^2\cdot e^x$

Brugbart svar (0)

Svar #2
19. april 2015 af Andersen11 (Slettet)

Du har ikke differentieret korrekt. Benyt reglen for differentiation af et produkt.

f '(x) = (x² · e^x)' = (x²)' · e^x + x² · (e^x)' = ...

Prøv at skrive det mere overskueligt uden alle disse overflødige parenteser:

f(x) = x² · e^x

dy/dx = 2y/x + y (skal det sikkert være).

Svar #3
20. april 2015 af Colgate, (Slettet)

Ok. Men når jeg så skal vise, at f(x) er en løsning, hvad gør jeg så?

Brugbart svar (0)

Svar #4
20. april 2015 af mathon

Hvis
$y=x^2\cdot e^x$
er
$\frac{2y}{x}+y=\frac{2x^2\cdot e^x}{x}+x^2\cdot e^x=2x\cdot e^x+x^2\cdot e^x$

Prøven på en løsning
er, at
$y{}'=\frac{2y}{x}+y$ er opfyldt.

Det ses, at

$\mathbf{\color{Red} y{}'}=2x\cdot e^x+x^2\cdot e^x=\mathbf{\color{Red} \frac{2y}{x}+y}$

Svar #5
20. april 2015 af Colgate, (Slettet)

Men 2x*e^(2)*e^(x)+x^(2)*e^(x) er ikke lig med 2y/x+y, og skal det ikke være det, før det kan være en løsning?

Brugbart svar (0)

Svar #6
20. april 2015 af Andersen11 (Slettet)

Hvor kommer det, du skriver, fra? Der gælder, at

y' = 2x·e^x + x²·e^x

og at

2y/x + y = 2·(x²·e^x)/x + x²·e^x = 2x·e^x + x²·e^x = y' ,

hvorfor funktionen f(x) = x²·e^x er en løsning til differentialligningen dy/dx = 2y/x + y

Svar #7
20. april 2015 af Colgate, (Slettet)

Jeg kan ikke se, hvorfor y' = 2x·ex + x2·ex.

Og jeg forstår ikke, hvad der sker her: 2y/x + y = 2·(x2·ex)/x + x2·ex = 2x·ex + x2·ex = y' ,

Brugbart svar (0)

Svar #8
20. april 2015 af Andersen11 (Slettet)

Man differentierer først den givne funktion y = f(x) = x²·e^x . Det gøres ved at benytte reglen for differentiation af et produkt, som det er vist i #2:

dy/dx = f '(x) = (x² · e^x)' = (x²)' · e^x + x² · (e^x)' = 2x·e^x + x²·e^x .

Herved har vi fundet funktionsudtrykket for differentialligningens venstreside.

Derefter vender vi os til differentialligningens højreside. Her udregner man

2y/x + y = 2·f(x)/x + f(x) = 2·(x²·e^x)/x + x²·e^x = 2x·e^x + x²·e^x .

Da de to sider giver samme funktionsudtryk, ser man, at funktionen y = f(x) = x²·e^x er en løsning i differentialligningen

dy/dx = 2y/x + y

Svar #9
20. april 2015 af Colgate, (Slettet)

Aha! Nu tror jeg, jeg forstår. Det hjalp meget med "højre- og venstreside". Tusind tak for forklaringen.

Skriv et svar til: Differentialligning

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.