Matematik

ophæve 3^x

24. april 2015 af LillaBlomst1 (Slettet) - Niveau: B-niveau

Hej alle

her er en ligning:

3^x=4x+6

Hvordan vil i ophæve potensen?

Tak på forhånd

Brugbart svar (1)

Svar #1
24. april 2015 af peter lind

Brug et CAS værktøj til at løse den ligning

Brugbart svar (0)

Svar #2
24. april 2015 af Heptan

Tag logaritmen på begge sider:

$\log(3^x)=\log(4x+6)$

$\Leftrightarrow x\cdot \log(3)=\log(4x+6)$

Brugbart svar (0)

Svar #3
24. april 2015 af mathon

#2
…som ikke var en brugbar "håndløsning".

Brugbart svar (0)

Svar #4
24. april 2015 af Heptan

Vi blev bedt om at ophæve potensen, ikke løse ligningen :D

Brugbart svar (0)

Svar #5
24. april 2015 af peter lind

Ligningen kan kun løses ved brug af et CAS værktøj. og selv om der bliver spurgt om ophævelse af potensen er det kun ment som en vej til at løse ligningen

Brugbart svar (2)

Svar #6
24. april 2015 af LeonhardEuler

I, Peter Lind og Mathon, bør være passelige med at sprede inkorrekte informationer. Den kan sagtens løses i hånden.

3^x = 4x + 6

Benyt substitutionen

- t = x + ⁶/₄

hvorved du får

Heraf fremgår det at

$t\cdot e^{t\cdot\textup{ ln(}3)}=R\Leftrightarrow (t\textup{ ln(}3))e^{(t\textup{ ln(}3))}=R\cdot \textup{ln}(3)$

Ved brug af Lambert W Funktionen på ligningen Y = Xe^X ⇔ X = W(Y)

$(t\textup{ ln(}3))e^{(t\textup{ ln(}3))}=R\cdot \textup{ln}(3)\Rightarrow t\textup{ ln(}3)=W(R\cdot \textup{ln(3)})\Leftrightarrow t=\frac{W(R\cdot \textup{ln(3)})}{\textup{ ln(}3)}$

ved at substituere tilbage fås

$x=-\frac{W(-\frac{ \textup{ln(3)}}{4}3^{-\frac{3}{2}})}{\textup{ ln(}3)}-\frac{3}{2}=\frac{-2W(-\frac{ \textup{ln(3)}}{4\sqrt{3^3}})-3 \textup{ln}(3)}{\textup{ 2ln(}3)}\ \vee \ x=\frac{-2W_{-1}(-\frac{ \textup{ln(3)}}{4\sqrt{3^3}})-3 \textup{ln}(3)}{\textup{ 2ln(}3)}$

Brugbart svar (1)

Svar #7
24. april 2015 af Andersen11 (Slettet)

Det er da ikke en ligning, som man på B-niveau vil karakterisere som en ligning, man "sagtens" kan løse i hånden. Lamberts W-funktion kan jo selv kun beregnes generelt ved CAS-værktøjer.

Brugbart svar (0)

Svar #8
24. april 2015 af LeonhardEuler

#7 : Jeg slår udelukkende hårdt ned på udsagnet "Ligningen kan kun løses ved brug af et CAS værktøj".

Det er ikke generelt gældende at Lamberts W-funktionen kun kan beregnes med CAS-værktøjer. Man har tilnærmede polynomier og rækker. Det mest essentielle spørgsmål vil være: Hvorfor have numeriske tilnærmede værdier for en løsning, når man har den eksakte værdi?

Skal man stå ved dit argument, er således mange andre ligninger med fundamentale funktioner såsom sin(x), cos(x) og log(x) ikke til at løse numerisk uden CAS-værktøj.

Herunder almindelige velkendte ligninger i gymnasiet af formen:

3^x = 5

Brugbart svar (0)

Svar #9
24. april 2015 af peter lind

#8 Lamberts W-funktion kan ligesom de trigonometriske funktioner, logaritmefunktioner, eksponentialfunktioner og lignende med undtagelse af specialtilfælde kun findes ved numeriske metoder. Du har ikke den eksakte værdi i disse tilfælde. At det for nogen af disse funktioner gælder i praksis at de kan beregnes direkte på lommeregnere ændrer ikke på det faktum. Heller ikke at man i almindelighed accepterer disse opslag

Brugbart svar (0)

Svar #10
24. april 2015 af Andersen11 (Slettet)

Tilnærmede polynomier og rækker er jo også blot fprskellige CAS-metoder til beregning af denne funktion. Min pointe er, at Lamberts W-funktion ikke almindeligt tilgængelig på CAS-værktøjer og lommeregnere, der benyttes i gymnasiale sammenhæng, og den kan ikke forventes at være bekendt på disse niveauer.

Specielt hæftede jeg mig ved din brug af ordet "sagtens" i #6, som jo underforstår, at det burde være almindeligt kendt.

Skriv et svar til: ophæve 3^x

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.