Matematik

Integration med to variable

05. maj 2015 af Heptan - Niveau: A-niveau

Jeg vil integrere

$0=\frac{dV}{V}\cdot \gamma + \frac{dp}{p}$

hvor γ er en konstant og V og p er de variable. Jeg er i tvivl pga. 0-tallet og at der allerede står dV og dp.

Brugbart svar (0)

Svar #1
05. maj 2015 af Stats

0 = (dV/V)·γ + (dp/p) ⇔ -(dV/V)·γ = (dp/p)

Den er nok lettere at integrere nu

- - -

Mvh Dennis Svensson

Svar #2
05. maj 2015 af Heptan

Er det her rigtigt?

$-\gamma \int \frac{1}{V}\ dV=\int \frac{1}{p}\ dp$

$\Leftrightarrow 0=\ln (V^{\gamma})+\ln (p)$

$\Leftrightarrow 1=pV^{\gamma}$

Hvorfor skal man ikke tilføje ekstra dV og dp? Kan man undlade det?

Svar #3
05. maj 2015 af Heptan

Jeg tror jeg glemte at tilføje nogle konstanter ... så det medfører at

$pV^\gamma =konstant$

dvs. pV^γ er lig med en ukendt konstant.

Brugbart svar (0)

Svar #4
05. maj 2015 af peter lind

0 = γ(dV/V)+dp/p = γd(ln(V) +dln(p) = d(ln(V^γ) +dln(p) = d( ln(V^γ*p)

Svar #5
05. maj 2015 af Heptan

#4 Hvor skal de sidste parenteser være? Og hvad gør du? Integrerer du eller sætter du d uden for en parentes? ...

Brugbart svar (0)

Svar #6
05. maj 2015 af peter lind

Undskyld jeg glemte slutparenteserne. De skal stå til slut. Jeg integrerer for eks den nemmeste dp/p = dln(p)

d er en differentialoperator og kan som sådan ikke bare sættes ud foran en parentes. Den sidste bruger jeg den velkendte regel at d(f+g) = df+dg

Svar #7
05. maj 2015 af Heptan

#4
0 = γ(dV/V)+dp/p = γd(ln(V) +dln(p) = d(ln(V^γ) +dln(p) = d( ln(V^γ*p)

okay, så der burde stå

0 = γ(dV/V)+dp/p = γd(ln(V) +dln(p)) = d(ln(V^γ) +dln(p)) = d( ln(V^γ*p))

Men hvad sker der ved lighedstegn nr. 2?

Brugbart svar (0)

Svar #8
05. maj 2015 af peter lind

efter det sidste lighedsteg behøver man ikke skrive de ekstra parenteser ellerrs ja.

Det andet lighedstegn har jeg forklaret i #6 så mener du ikke det tredje ?

Da γ er en konstant gælder γdln(V) = d(γln(V) = dln(V^γ) hvor jeg har brugt reglen om potenser for logaritmefunktioner

Brugbart svar (0)

Svar #9
05. maj 2015 af mathon

$-\frac{1}{p}\, \textup{d}p=\gamma \cdot \frac{1}{V}\, \textup{d}V$

$-\int_{p_1}^{p_2}\frac{1}{p}\, \textup{d}p=\gamma \cdot \int_{V_1}^{V_2}\frac{1}{V}\, \textup{d}V$

$\int_{p_2}^{p_1}\frac{1}{p}\, \textup{d}p=\gamma \cdot \int_{V_1}^{V_2}\frac{1}{V}\, \textup{d}V$

$\ln\left ( \frac{p_1}{p_2} \right )=\gamma \cdot \ln\left ( \frac{V_2}{V_1} \right )$

$\ln\left ( \frac{p_1}{p_2} \right )= \ln\left ( \left (\frac{V_2}{V_1} \right ) ^\gamma \right )$

$\frac{p_1}{p_2} = \left (\frac{V_2}{V_1} \right ) ^\gamma$

$\frac{p_1}{p_2} = \frac{{V_{2}}^{\gamma }}{{V_{1}}^{\gamma }}$

$p_1\cdot {V_{1}}^{\gamma }=p_2\cdot {V_{2}}^{\gamma }$
eller noteret

$p\cdot {V_{}}^{\gamma }=p_o\cdot {V_{o}}^{\gamma }=\textup{k}(onstant)$

Svar #10
05. maj 2015 af Heptan

#8 Nej, jeg synes ikke at reglen d(f+g) = df+dg er opfyldt for:

γ(dV/V)+dp/p = γd(ln(V) +dln(p))

Er det fordi der er et d for meget, eller et d for lidt? Fx

γ(dV/V)+dp/p = γd(ln(V) +ln(p))

Hvad gør man til sidst, efter d(ln(V^γ*p))?

#9 Super tak, det er smart man undgår konstanterne på den måde...

Brugbart svar (0)

Svar #11
05. maj 2015 af peter lind

Jeg har kun de ene led med i #8. Leddet med dp/p havde jeg forklaret tidligere så jeg holdt mig i #8 til det første led. Sumreglen er brugt ved det sidste lighedstegn i #4 dln(V^γ) + dln(p) = d( ln(Vγ)+ln(p) ) = dln(V^γ*p)

Da differentialet skal være 0 må ln(V^γ*p) være en konstant og dermed V^γ*p være en konstant i overensstemmelse med sidste linje i #9

Svar #12
06. maj 2015 af Heptan

#11 Hvordan slipper man så af med d til sidst?

Brugbart svar (0)

Svar #13
07. maj 2015 af peter lind

Hvis man har en funktion f og differentialet af f df =0 er f en konstant

Skriv et svar til: Integration med to variable

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.