Konstruktion af Ventilhus

Det ser ud til at kunne reduceres til et plangeometrisk problem om at finde diameteren til den indskrevne cirkel i en ligebenet trekant. Se evt. https://www.studieportalen.dk/forums/thread.aspx?id=1560495. 

Du kender cirkler og kugler fra hverdagen. Jeg håber at det er intuitivt at radius fra centrum ned på en overflade danner en vinkel på 90º. Dette kan udnyttes til at beregne radius ud fra kendte værdier, ved konstruktion af forskellige trekanter.

Hints:

Betragt den retvinklede trekant jeg har skitseret. Du kender allerede vinklen på 90^o, og de to andre vinkler kan beregnes ud fra V og vinkelsummen i en trekant.

Det næste trick er at beregne længden på en af siderne i den retvinklede trekant. Det er oplagt at beregne hypotenusen, da den er = H - h - r + b

hvor r er ½ d og b er det blå linjestykke jeg har tegnet.

b kan beregnes, fordi den lille trekant (inde i rektanglet) er ensvinklet med den store trekant (som ikke er den røde/blå).

Diameteren findes som 2·r, r er radius af cirklen på tegningen. På tegningen er a halvdelen af grundlinjen i den stiplede trekant, mens h er højden i trekanten og b er den del af højden, som er over 35 mm. Vinklen v er den halve vinkel af vinklen ved grundlinjen i den stiplede trekant. Da denne er ligebenet, får man 
   v = ((180º - 50º)·0,5)·0,5 = 32,5º
Der gælder at, r/a = tan(32,5º) => r = a·tan(32,5º) 
   tan(25º) = a/h => a = h·tan(25º)
   h = 35 mm + b
   (7,5 mm)/b = tan(25º) => b = (7,5 mm)/tan(25º)
Dette giver for radius i cirklen:
   r = a·tan(32,5º) = h·tan(25º)·tan(32,5º) = [35 mm + 7,5 mm/tan(25º)]·tan(25º)·tan(32,5º) =
   [51,1 mm]·tan(25º)·tan(32,5º) = 15,18.

Diameteren af kuglen bliver dermed 2·15,2 mm = 30,4 mm

CAS konstruktion med efter-behandlet tekst.

a) D = 2 · 15,2 mm = 30,4 mm.

b) Afstanden AC er √(15,2² - 13,8²) mm = 6,37 mm. Afstanden fra A til ventilhusets øvre åbning er (6,37 + 15,2 + 10) mm = 31,6 mm. Radius af ventilhusets øvre åbning er 28,5 mm.

Heraf fås, at rumfanget af keglestubben fra øvre åbning til punktet A, er 46.195 mm³. Rumfanget af kugle-afsnittet, som indeholder centrum og har snitflade gennem A, findes til 11.145 mm³. 

Rumfanget af ventilhuset over kuglen bliver 46.195 mm³ - 11.145 mm³ = 35.050 mm³ = 35,0 cm³.