Differentiering af funktion

Differentier som produktet af to funktioner nemlig x²-5 og e^-x. e^-x kan differentieres som en sammensat funktion nemlig sammensat af eksponentialfunktionen og funktionen -x

Så dvs. den kommer til at hedde f'(x)=2x-0*e^-x ?

Nej.

(f*g)' = f'*g+f*g'

med f(x) = x²-15 g(x) = e^-x

find f'(x) og g'(x) og sæt det ind i formlen

Okay så f(x)=x^2-15 --> f'(x)=2x og g(x)= e^-x --> g'(x)= e^-x

Hvordan bruger jeg det til en tangentligning, når de nu er to funktioner?...

g(x) = e^-x skulle differentieres som en sammensatfunktion sammensat af eksponentialfunktionen og funktionen -x
Det giver   exp(-x)' = e^-x*(-x)' = -e^-x

Du skal sætte det ind i formlen for differentiation af et produkt som er nævnt i #3 og som også står i din bog og formelsamling

Okay jeg skal lige forstå det rigtigt.

For at differentiere f(x)=(x^2-15)*e^-e skal jeg splitte funktionen op i to og differentiere hver del.

f(x)=x^2-15 --> f'(x)=2x

g(x)=e^-x --> g'(x)=e^-x

Derefter bruger jeg formlen (f*g)'=f'*g+f*g' til at få disse to funktioner sammensat igen.

((x^2)*e^-x)'=(2x*e^-x)+(x^2-15*e^-x)

Jeg skal finde en tangent til punktet P:(0,f(0))

dvs. f'(0)=(2*0*e^-0)+(0^2-15*e^-0) <--> f'(0)= -15*1 = -15

f(0)=(0^2-15)*e^-0 <---> f(0)=-15*1 = -15

Herefter får jeg så et resultat, som jeg sætter ind i tangentligningen:

y=f'(x0)*(x-x0)+f(x0) ---> y=-15*(x-0)-15=0 <--> -15*(x-0)=15 <---> x-0= -1 <---> x = -1 

Dermed ligger tangenten i p(0,-1)

Er det rigtigt?

#6 Så har jeg lige dekrypteret din tekst :-)
1.   For at differentiere f(x) = (x² - 15)·e^-e skal jeg splitte funktionen op i to og differentiere hver del.
2.
3.   f(x) = x² - 15 ⇒ f'(x) = 2·x
4.   g(x) = e^-x ⇒ g'(x) = e^-x
5.
6.   Derefter bruger jeg formlen (f·g)'=f'·g + f·g' til at få disse to funktioner sammensat igen.
7.
8.   (x²·e^-x)' = (2·x·e^-x) + (x²-15·e^-x)
9.
10. Jeg skal finde en tangent til punktet P(0,f(0))
11. 
12. dvs. f'(0) = (2·0·e^-0) + (0² - 15·e^-0) ⇔ f'(0) = -15·1 = -15
13.
14. f(0) = (0²-15)·e^-0 ⇔ f(0) = -15·1 = -15
15. 
16. Herefter får jeg så et resultat, som jeg sætter ind i tangentligningen:
17.
18. y = f'(x₀)·(x-x₀)+f(x₀) ⇒ y = -15·(x - 0) - 15 = 0 ⇔ -15·(x - 0) = 15 ⇔ x - 0= -1 ⇔ x = -1 
19.
20. Dermed ligger tangenten i P(0,-1)
21.
22. Er det rigtigt?

I linje 1 og linje. 4.. Det er ikke de samme funktioner, men går ud fra, at du mener e^-x og ikke e^-e..
I linje 4, da differentiere du e^-x forkert... Anvend svaret i #5
I linje 6. da mumler du lidt... Du anvender formlen fordi du har et produkt af 2 funktion og du gerne vil differentiere produktfunktionen. Du vil ikke have dem sammensat igen..
I linje 8, er der ikke overensstemmelse mellem venstresiden og højresiden. Venstresiden, da anvender du en helt anden funktion en den oprindelige. Og højresiden, da går fejlen med (e^-x)' igen.. Du skal også huske at holde styr på parenteserne.
I linje 12, anvender du metoden korrekt.. Men på grund af de forrige fejl, så får du et forkert resultat
I linje 14, anvender du metoden korrekt.
I linje 18... Her skal du ikke finde nogen x. Tangentligningen er en funktion.
I linje 20, da skal du ikke komme med "Dermed ligger tangenten i P(0,-1)", du får jo angivet, at det er punktet P(0,f(0)). Du skal bare sige, dermed er tangentligning y = ....

Okay så 

f(x)=x^2-15 --> f'(x)=2*x

g(x)=e^-x --> g'(x)=-e^-x

(f*g)'=f'*g+f*g' --> (2x*-e^-x)=(2x*e^-x)+((x^2-15)*-e^-x)

dvs. 

f'*g+f*g' =(f*g)' ----> (2x*e^-x)+((x^2-15)*-e^-x)=((x^2-15)*e^-x)

dvs. (2*0*e^-0)+((0^2-15)*-e^-0)=f'(0) <---> f'(0) = -15*-e^-0 = -15*(-1) = 15

f(0)=(0^2-15)*e^-0 <--> f(0)= -15*1 = -15

tangentligningen:

y=f'(0)*(x-0)+f(0) <---> y=15*(x-0)-15 

Er det korrekt? :))

1.   Okay så 
2.
3.   f(x) = x² - 15 ⇒ f'(x) = 2·x
4.
5.   g(x) = e^-x ⇒ g'(x) = -e^-x
6.
7.   (f·g)' = f'·g + f·g' ⇒ (2·x·-e^-x) = (2·x·e^-x) + ((x² - 15)·-e^-x)
8.
9.   dvs. 
10.
11. f'·g + f·g' = (f·g)' ⇒ (2·x·e^-x) + ((x² - 15)·-e^-x) = ((x² - 15)·e^-x)
12.
13. dvs. (2·0·e^-0) + ((0² - 15)·-e^-0) = f'(0) ⇔ f'(0) = -15·-e^-0 = -15·(-1) = 15
14.
15. f(0) = (0² - 15)·e^-0 ⇔ f(0) = -15·1 = -15
16.
17. tangentligningen:
18. 
19. y=f'(0)·(x-0) + f(0) ⇔ y = 15·(x-0) - 15 
20.
21. Er det korrekt? :))

Linje 7:
Oprindelige
7.   (f·g)' = f'·g + f·g' ⇒ (2·x·-e^-x) = (2·x·e^-x) + ((x² - 15)·-e^-x)
Korrigeret:
7.   (f·g)' = f'·g + f·g' ⇒ ((x² - 15)·e^-x)' = (2·x·e^-x) + ((x² - 15)·-e^-x)

Ellers er den god nok :)

I linje 11.
Oprindelige:
f'·g + f·g' = (f·g)' ⇒ (2·x·e^-x) + ((x² - 15)·-e^-x) = ((x² - 15)·e^-x)
Korrigeret:
f'·g + f·g' = (f·g)' ⇒ (2·x·e^-x) + ((x² - 15)·-e^-x) = e^-x·(2x - x² + 15)

Ellers så ser resten fint ud :-)