Matematik

Stamfunktioner - F'(x) = f(x) - Hvorfor?

26. maj 2015 af Rezwan9 (Slettet) - Niveau: B-niveau

Hej alle

Jeg er i gang med at forberede mig til matematik eksamen, og opdagede lige, at jeg ikke helt har fået fat i integralregning og stamfunktioner.

Er der formler/ligninger, jeg kan bruge, som er nyttige? I må meget gerne lave en liste over de formler, som jeg skal bruge samt sammenhængen, altså hvornår og i hvilken sammenhæng jeg skal bruge dem. Det ville være en stor hjælp!

Desuden er jeg i gang med at lave et eksamenssæt (forberedelse), og er gået i stå i netop det emne. Nogen, der kan hjælpe med dette problem;

Undersøg, om F(x) = 2x4 - ex + 7 er en stamfunktion til f(x) = 6x3 - ex

Hvordan løser jeg den helt præcist, og hvilke formler bruger jeg?

På forhånd, tak!


Brugbart svar (0)

Svar #1
27. maj 2015 af Therk

#0
[...]

Undersøg, om F(x) = 2x4 - ex + 7 er en stamfunktion til f(x) = 6x3 - ex

Hvordan løser jeg den helt præcist, og hvilke formler bruger jeg?

På forhånd, tak!

Der gælder netop, som du skriver i overskriften at stamfunktionen differentieret giver funktionen. Så når du skal undersøge ovenstående, skal du kontrollere om

F'(x) \stackrel ?= 6x^3 - \mathrm e ^x

Hvis du har en formelsamling, så står de der her helt sikkert alle sammen. Hvis det er en mundtlig eksamen, så prøv at sætte dig ned og gnav over hvorfor

\int_a^b f(x) \, \mathrm dx = \int_a^c f(x) \, \mathrm dx + \int_c^b f(x) \, \mathrm dx

Hint: Prøv at tegne tre punkter a,b,c på x-aksen, tegn en kurve og find integralerne mellem de tre punkter. Kan du se sammenhængen? Ovenstående er i øvrigt et godt resultat at kunne.


Svar #2
27. maj 2015 af Rezwan9 (Slettet)

#1

Det er en skriftlig eksamen, og dette spørgsmål skal løses uden hjælpemidler. Hvordan regner jeg med integraler uden hjælpemidler (TI-nspire, lommeregner osv.)?

Det ville være rigtig dejligt, hvis du kunne løse den opgave for mig med mellemregninger og forklaringer! Hvis det selvfølgelig ikke er for meget at forlange.

På forhånd, tak!


Brugbart svar (0)

Svar #3
27. maj 2015 af Therk

Jeg vil ikke løse den opgave, men jeg kan vise dig et lignende eksempel.

\rule{7cm}{0.4pt}

Undersøg om

F(x) = 5x^6 + \sin(x) +x -2

er en stamfunktion til

f(x) = x^5 + \cos(x) +1.

\rule{7cm}{0.4pt}

For at finde ud af det, skal vi blot differentiere F(x). Vi husker at hvis f er en sum af forskellige led, gælder der at f differentieret er hvert led differentieret. Formelt:

f(x) = g(x) + h(x) \Rightarrow f'(x) = g'(x) + h'(x)

Med de fire led differentieret:

\begin{align*} &\frac{\mathrm d}{\mathrm d x}\, 5x^6 = \frac{5x^{6-1}}{6-1} = \color{blue}x^5\\& \frac{\mathrm d}{\mathrm d x} \sin(x) = \color{blue} \cos(x) \\& \frac{\mathrm d}{\mathrm d x} x = \color{blue}1 \\& \frac{\mathrm d}{\mathrm d x} (-2) = \color{blue}0 \end{align*}

får vi at

F'(x) = x^5 + \cos(x) + 1 + 0

og derved kan vi se at

F'(x) = f(x),

F er en stamfunktion til f.

\rule{7cm}{0.4pt}

Alternativt kunne vi have fundet det ubestemte integrale af f og vist at F er den af stamfunktionerne for f hvor k = -2.


Brugbart svar (0)

Svar #4
27. maj 2015 af Therk

Fremgangsmåden i din opgave er den samme. Prøv evt. at gøre det (fx på et papir), tag et billede af din løsning og upload den hertil. :)


Skriv et svar til: Stamfunktioner - F'(x) = f(x) - Hvorfor?

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.