Matematik

Tangentligning og monotoniforhold

27. maj 2015 af annahg (Slettet) - Niveau: B-niveau

Hej jeg kan ikke finde ud af følgende opgave:

f(x)=(x^2-15)*e^-x

a) Bestem en ligning for tangenten til grafen for f i punktet P(0,f(0))

Her kan jeg ikke finde ud af at differentiere f(x), som jeg skal gøre for at sætte det ind i tangentligningen.

Men en anden ting jeg ikke kan finde ud af, er hvordan man sætter tingene ind i tangentligningen. Jeg går ud fra at man regner f(x) og f'(x) ud, og dermed får x til at være et tal. Så hvis nu f(x)=2 og f'(x)=3, skulle man så gøre følgende

y=3*(x-0)+2 <---> y=3x+2 - og da x=0 vil y være y=3*0+2 <--> y=2 

Dermed vil tangenten være i P(0,2)?

b) Bestem monotoniforholdene for f

Det ville være rigtig rart med en forklaring på hvorfor i gør som i gør :)


Brugbart svar (0)

Svar #1
27. maj 2015 af Stats

f(x) = (x2 - 15)·e-x

f(x) kan også ses som 2 funktioner ganget med hinanden.
g(x) = x2 - 15
h(x) = e-x

g'(x) = (x2 - 15)' = 2x
Hvis man kigger på h(x) kan det se lidt kringlet ud.. Men anvend derfor reglen:
(ek(x))' = ek(x)·(k(x))'
Man får derfor h'(x) = -e-x

Opsummering:
g(x) = x2 - 15 ⇒ g'(x) = 2·x
h(x) = e-x ⇒ h'(x) = -1·e-x

Differentiation af en produktfunktion:
f'(x) = g'(x)·h(x) + g(x)·h'(x)

Hvilket giver:
f'(x) = (2·x)·e-x + (x2 - 15)·(-e-x) = 2xe-x - x2e-x + 15e-x = e-x(2x - x2 + 15)

Tangenten i punktet P(0,f(0)) er:
f'(0) = e-0(2·0 - 02 + 15) = 1·(0 - 0 + 15) = 15
f(0) = (02 - 15)·e-0 = -15·1
y = f'(x0)(x - x0) + f(x0) = 15·(x - 0) - 15 = 15x - 15

Tangentensligning er derfor y = 15x - 15

Monotoniforhold...

Sæt f'(x) = 0, herved finder du alle vandrette tangenter...

e-x(2x - x2 + 15) = 0
Her kan jeg se.. At hvis det inde i parentesen er 0, så må hele udtrykket give 0..
-x2 + 2x + 15.. Finder diskriminanten: d = b2 - 4ac = 22 - 4·(-1)·15 = 64
Anvender formlen for andengradsligningens nulpunkter:
x = (-b ± √d) / 2a = (-2 ± √64) / 2·(-1) = (-2 ± 8) / (-2)
x1 = (-2 + 8) / (-2) = 6 / (-2) = -3
x2 = (-2 - 8) / (-2) = -10 / (-2) = 5

Nu inddeler jeg funktionen i intervaller

]-∞, -3]       [-3, 5]     [5, ∞[

Jeg undersøger nu, den er stigende eller faldende
Intervaller:                      ]-∞, -3]                [-3, 5]            [5, ∞[
f'(x):                               f(-4) = -0,17         f'(0) = 15        f'(6) = -0.02
Fortegn:                                -                        +                      -
Voksende/aftagende:             \                         /                       \

Vi kan nu se, at den er aftagende i intervallet: ]-∞,-3]∪[5,∞[
Og voksende i intervallet: [-3,5]

- - -

Mvh Dennis Svensson


Brugbart svar (0)

Svar #2
27. maj 2015 af Toonwire

Hejsa

Først kan vi lige opskrive tangentens ligning, generelt:

t(x)=f'(x_0)\cdot(x-x_0)+f(x_0)

Dvs. for at finde tangenten i punktet P=(0,f(0)) skal vi kende den afledte funktion f'(x).
Til dette, brug produktreglen - idet din funktion består af et produkt af to funktioner af x:

\Rightarrow f'(x)=2x\cdot e^{-x}-(x^2-15)\cdot e^{-x}=(-x^2+2x+15)\cdot e^{-x}

I punktet P har vi et x_0=0, dvs. vi kan udregne f'(x_0) ved at indsætte 0 på x'ets plads. Ligesom vi kan gøre det for f(x_0):

\\f(x_0)~=(0^2-15)\cdot e^{-0}~~~~~~~~~~~=-15\cdot 1=-15\\ f'(x_0)=(-0^2+2\cdot 0 + 15)\cdot e^{-0}=~~15\cdot 1=~~ 15

Indsæt nu blot alle de kendte værdier i tangentligningen.

Monotoniforholdene for f fås ved at se på hvordan grafen for f(x) opfører sig. Kig på hvornår, hvis det sker, at grafen for funktionen har en vandret tangent, f'(x)=0, og se om grafen er voksende eller aftagende op til og fra punktet (i intervallet) med den vandrette tangent.

Hint:
Du får to punkter med vandret tangent


Svar #3
27. maj 2015 af annahg (Slettet)

Tusind tak for hjælpen, nu forstår jeg :)


Skriv et svar til: Tangentligning og monotoniforhold

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.