Matematik
Convergence
Hej derude.
Jeg har en opgave, der lyder:
Vis, at rækken
Vis, at rækken
er konvergent, og dens sum er mindre end
Hvis man tager grænserne til , så konvergerer udtrykket mod .
or ..
0 er mindre end fjerde del pi, men det lyder trivielt, så den ikke giver nogen mening.
Min spørgsmål er: Hvordan kan man viser, at dens sum er mindre end .
Jeg håber, at nogen er der ude for at hjælpe.
.
Svar #1
28. maj 2015 af Drunkmunky
Vi betragter integralet
Ved brug af partiel integration med og dg/dn=1. Så får vi, at
.
Ved at indsætte b og 1 ind i det første led, får vi at det giver
Hvor grænseværdien af første led er nul, så alt i alt har vi nu, at
Ved at trække minusset ud og dividere igennem med n i integralet, får vi, at
Det sidste integral har stamfunktion arctan(n), og da grænseværdien af arctan(b) når b går mod uendeligt er π/2 og arctan(1)=π/4, så får vi at integralet er lig med
Så da integralet konvergerer, konvergerer rækken. Af dette følger det også at summen af rækken er mindre end π/4, da log(2)/2>0.
Skriv et svar til: Convergence
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.