Matematik

Kurvens krumning

30. maj 2015 af Shaolina (Slettet) - Niveau: Universitet/Videregående

Hejsa!

Jeg har brug for hjælp til denne opgave, hvor krumningen for en kurve skal udregnes:

På forhånd tak!


Brugbart svar (0)

Svar #1
30. maj 2015 af Toonwire

Krumningen for en kurve defineret ved:

\mathcal{K}=\frac{|x'\cdot y''-x''\cdot y'|}{\left((x')^2+(y')^2 \right )^{\frac{3}{2}}}

Se evt. https://www.studieportalen.dk/forums/thread.aspx?id=1589978


Brugbart svar (1)

Svar #2
30. maj 2015 af mathon

                     \overrightarrow{r}(t)=\begin{pmatrix} \cos(t)\\ 2 \sin(t) \end{pmatrix}        

hvoraf
                     \overrightarrow{v}(t)=\frac{\mathrm{d} \overrightarrow{r}}{\mathrm{d} t}=\begin{pmatrix} -\sin(t)\\ 2\cos(t) \end{pmatrix}         \left | \overrightarrow{v}(t) \right |=\left (3\cos^3(t)+1 \right )^{\frac{1}{2}}     

                     \overrightarrow{a}(t)=\frac{\mathrm{d} \overrightarrow{v}}{\mathrm{d} t}=\begin{pmatrix} -\cos(t)\\ -2\sin(t) \end{pmatrix}  

                      \overrightarrow{v}\times \overrightarrow{a}=\begin{pmatrix} 0\\0 \\ 2 \end{pmatrix}                               \left | \overrightarrow{v}\times \overrightarrow{a} \right |=2

krumningen:
                        

                      \kappa(t) =\frac{\left | \overrightarrow{v}\times \overrightarrow{a} \right |}{\left | \overrightarrow{v} \right |^3}=\frac{2}{\left (3\cos^3(t)+1 \right )^{\frac{3}{2}}}}

                     


Brugbart svar (0)

Svar #3
30. maj 2015 af mathon

  eller noteret:
                       \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \cos(t)\\ 2\sin(t) \end{pmatrix}

                       \begin{pmatrix} \dot x\\\dot y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -\sin(t)\\ 2\cos(t) \end{pmatrix} 

                       \begin{pmatrix} \ddot x\\\ddot y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -\cos(t)\\ -2\sin(t) \end{pmatrix} 

.

           \mathcal{K}(t)=\frac{|\dot x\cdot \ddot y-\ddot x\cdot \dot y|}{\left(\dot x^2+\dot y^2 \right )^{\frac{3}{2}}}=\frac{|-\sin(t)\cdot (-2\sin(t))-(-\cos(t))\cdot 2\cos(t)|}{\left(\sin^2(t)+4\cos^2(t) \right )^{\frac{3}{2}}}=

                                                                                               \frac{2}{\left (3\cos^3(t)+1 \right )^{\frac{3}{2}}}


Svar #4
30. maj 2015 af Shaolina (Slettet)

Tusind tak for hjælpen. :)


Skriv et svar til: Kurvens krumning

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.