Matematik

Konvergens

30. maj 2015 af Niko83 (Slettet) - Niveau: Universitet/Videregående

Hej derude.
Jeg har en opgave, som lyder.

Konvergens uden at estimere dens grænse.
Vis, at udtrykket generelt af serien $\sum_{n=1}^{\infty}ln(\frac{\sqrt{1+n}}{n})$ svarer til (er ækvivalent til) $\frac{1}{n^2}$ .

Er der nogen,der kan vejlede eller hjælpe med at løse denne opgave.
Jeg kan ikke finde nogen sætning eller definition, som kan hjælpe til at løse denne opgave.

Jeg håber, at høre af nogen

Svar #1
30. maj 2015 af Niko83 (Slettet)

Jeg mente at rækken $[\sum_{n=1}^{\infty}ln(\frac{\sqrt{1+n^2}}{n})]$

Brugbart svar (0)

Svar #2
30. maj 2015 af peter lind

kvrod(1+n²)/n = kvrod(1+1/n2) ) hvor 1/n² -> 0 for n ->∞

Du kan så enten bruge først Taylorækken for kvrod funktionen og bagefter for logaritmefunktionen eller du kan lave en rækkefudvikling af den samlede funktion

Svar #3
30. maj 2015 af Niko83 (Slettet)

Jeg kan forstå, at
$[\sum_{n=1}^{\infty}ln(\frac{\sqrt{1+n^2}}{n})] =[\sum_{n=1}^{\infty}ln(\sqrt{\frac{1+n^2}{n^2}})$
og $\lim_{n->\infty}\frac{1}{n^2}\Rightarrow 0$
Men jeg kan ikke forstå, hvordan kan jeg vise, at $[\sum_{n=1}^{\infty}ln(\sqrt{\frac{1+n^2}{n^2}})$ svarer det same som $\frac{1}{n^2}$

Brugbart svar (0)

Svar #4
30. maj 2015 af peter lind

(1+n²)/ n² = 1+1/n² kalder du 1/n² for x har du at du skal finde ln(kvrod(1+x) )=ln( 1+x)^½) = ½*(ln(1+x) )≈ ½(x-x²/2 + ... som er konvergent for x < 1. beholder du kun det første led har du altså at rækken er omtrent lig med 0,5/n²for tilstrækkelig store værdier af n

Brugbart svar (0)

Svar #5
31. maj 2015 af YesMe

Vis at

This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program.

for alle n≥1. Er det det du mente?

Brugbart svar (0)

Svar #6
31. maj 2015 af peter lind

nej. Det jeg mener er at for meget store n er funktionen næsten det samme som 0,5/n²..

Hvis du kan vise uligheden i #5 kan du sige at rækken er konvergent såfremt summen af 1/n² er det

Skriv et svar til: Konvergens

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.