Lære at løse differentialligninger

18. juli 2015 af 123434 - Niveau: A-niveau

Undersøg om funktionen f(x)=x²+x er løsningen til differentialligningen y'-2y=1-2x²

jeg differentiere f(x). f'(x) indsættes på det differentierede y's plads, og f(x) indsættes på det ikke-differentierede y's plads

f'(x)=2*x^2-1+1=2x+1

y'-2y=1-2x²

2x+1-2*(x²+x)=1-2x²

2x+1-2x²-2x=1-2x²

1-2x²=1-2x²

Undersøg om f(x)=x³+x²+x er løsning til y'-3y=-3x³-x+1

jeg differentiere f(x) og indsætter f'(x) på det differentierede y's plads og indsætter f(x) på det ikke differentierede y

f'(x)=3*x^3-1+2*x^2-1+1=3x²+2x+1

y'-3y=-3x³-x+1

3x²+2x+1-3*(x³+x²+x)

3x²+2x+1-3x³-3x²-3x=-3x³-x+1

-3x³-x+1=-3x³-x+1

f(x)=x³+x²+x er løsningen til y'-3y=-3x³-x+1

Efter mange forsøg begyndte det at give mening for mig, da jeg indsatte f(x) på y, og f'(x) på y'

Hvordan løser I dem?

Tusind tak

Brugbart svar (1)

Svar #1
18. juli 2015 af mathon

Her løses differentialligningen ikke. Her efterprøves om en givet funktion kan være én mulig løsning.

Svar #2
19. juli 2015 af 123434

Du har helt ret!

Brugbart svar (0)

Svar #3
19. juli 2015 af mathon

Begge ovenstående differentialligninger kan løses
ved brug af "panserformlen"

$y{\, }'+f(x)\cdot y=g(x)=e^{-F(x)}\cdot\left ( \int_0 e^{F(x)}\cdot g(x)\, \textup{d}x +C \right)$

hvor F(x) er en stamfunktion til f(x).

Brugbart svar (0)

Svar #4
19. juli 2015 af mathon

hvoraf:
1)
$y=Ce^{2x}+x^2+x$

2)
$y=Ce^{3x}+x^3+x^2+x$

som specifikt for $\mathbf{\color{Red} C=0}$
er de opgivne løsningsmuligheder:

1)
y=x^2+x

2)
y=x^3+x^2+x

Skriv et svar til: Lære at løse differentialligninger

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.