Matematik
Integrale
Bestem ∫2x/(x3+3)dx
Omskrives til 2x*x-3+3
2x*x0=2x*1
1/2*2x1+1=x2
x2+k
Jeg får integralet til x2+k
Får I samme resultat?
Tusind tak
Svar #1
25. juli 2015 af SuneChr
Så enkelt løses integralet ikke.
Stamfunktionen indeholder led med naturlig logaritme og invers tangens.
![\int \frac{x}{a+bx^{3}}\textup{d}x=\frac{1}{3bk}\left ( \frac{1}{2}\ln \frac{a+bx^{3}}{\left ( k+x \right )^{3}}+\sqrt{3}\cdot \tan^{-1}\frac{2x-k}{k\sqrt{3}} \right )\; \; \; \; \; k=\sqrt[3]{\frac{a}{b}}](https://media.studieportalen.dk/images/equations/imH-R1KRQZOlZyucqTefGA==.gif)
Svar #5
25. juli 2015 af LeonhardEuler
Omskriv til partialbrøker eftersom at polynomiet i nævneren har minimum en reel rod, hvorfor den kan omskrives til et førstegradspolynomium multipliceret med et andengradspolynomium.
Det er muligt, at en løsning på problemet bliver vedlagt senere i nat af mig.
Svar #6
25. juli 2015 af LeonhardEuler
Du har da at polynomiet a + bx3 altid har den reelle rod x = -3√(a/b) og ved polynomiers division opnår du, at den kan skrives som produkt af et førstegradspolynomium og et andengradspolynomium.
![$$ a+bx^3 = (\sqrt[3]a +{\color{Red} x}\sqrt[3]b)(\sqrt[3]a^2 - {\color{Red} x}\sqrt[3]a\sqrt[3]b + {\color{Red} x^2}\sqrt[3]b^2) $$](https://media.studieportalen.dk/images/equations/P0a2T8JjuwS1qRUzEH30FQ==.gif)
nu omskriver du til
![$$\frac{x}{a+bx^3}= \frac{x}{(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}x)(\sqrt[3]{a}^2+(\sqrt[3]{b}x)^2-\sqrt[3]{a}\sqrt[3]{b}x)}=\\ \space \\ \frac{A}{(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}x)}+\frac{Bx+C}{(\sqrt[3]{a}^2+(\sqrt[3]{b}x)^2-\sqrt[3]{a}\sqrt[3]{b}x)} $$](https://media.studieportalen.dk/images/equations/gT7NgDtz-zjPMOUEUwgGfw==.gif)
Bemærk at ved sidste lighedstegn omskrives der til partialbrøker, hvor hver brøks tæller er en grad mindre end dens nævner. Nu skal A og Bx + C bestemmes, for hvilket der eksisterer adskillige teknikker. Det er rimelig kompliceret og uoverskueligt regnestyk, derfor undlader jeg at regne på, da det vil tage for lang tid.
Når du endelig integrerer, får du noget med logaritme fra den første brøk adderet med noget invers tangens fra den anden brøk. Det skulle meget vel passe med, hvad #4 har vedlagt af løsning.
Skriv et svar til: Integrale
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.