Matematik

Løsning til xy'+y=1/x, der opfylder y(1)=4

31. juli 2015 af KitlerKat (Slettet) - Niveau: B-niveau

Hej!

Nu har jeg efterhånden prøvet så meget til med denne opgave, at jeg ikke har flere idéer tilbage. Opgaven skal løses vha. de formler vi har benyttet i timerne og derfor uden hjælpemidler.

Opgaven lyder således:
Bestem den løsning til differentialligningen
$xy'+y=\frac{1}{x},x>0$
der opfylder, at y(1)=4

Opgaven ligger under emnet "Lineære 1. ordens differentialligninger" (panserformlen).
Derfor vil jeg gå ud fra, at jeg skal benytte panserformlen til løsning af opgaven. Dette kræver dog, at jeg omskriver ligningen, så den kommer på den rigtige form ( y'+a(x)y=b(x) ). Når jeg har gjort dette, bestemt A(x) og indsat værdierne i udtrykket for den fuldstændige løsning $y=f(x)=e^{-A(x)}\int b(x)e^{A(x)}dx + ce^{-A(x)}$
ender jeg desværre ud med et integral, som hverken jeg eller TI-Nspire kan løse.

Er der en venlig sjæl, der kan lede mig på vej, fortælle om jeg er på vildspor, eller om jeg har misforstået noget centralt i selve opgaven?
På forhånd, tak!
Fortsat god dag!

Brugbart svar (0)

Svar #1
31. juli 2015 af mathon

hvoraf
$y{\, }'+\frac{1}{x}\cdot y=\frac{1}{x^2}$ nu kan panserformlen benyttes $e^{\int \frac{1}{x}dx}=e^{\ln(x)}=x$

$y=x^{-1}\cdot \int \left (x\cdot \frac{1}{x^2} \right )\, \textit{d}x+C\cdot x^{-1}$

$y=\frac{C+\ln(x)}{x}$

$4=\frac{C+\ln(1)}{1}$

$y=\frac{4+\ln(x)}{x}$

C=4

Brugbart svar (0)

Svar #2
31. juli 2015 af mathon

kontrolberegning:

$y=\frac{4+\ln(x)}{x}$

$y{\, }'=\left ( 4\cdot x^{-1}+\frac{1}{x}\cdot \ln(x) \right ){}'=\frac{-3-\ln(x)}{x^2}$

$x\cdot y{\, }'=\frac{-3-\ln(x)}{x}$

$x\cdot y{\, }'+y=\frac{-3-\ln(x)}{x}+\frac{4+\ln(x)}{x}=\frac{1}{x}$

Brugbart svar (0)

Svar #3
31. juli 2015 af Soeffi

#0

CAS løsning.

Vedhæftet fil:Screen Shot 2015-07-31 at 3.03.27 PM.png

Svar #4
31. juli 2015 af KitlerKat (Slettet)

Tusinde tak for hjælpen! Jeg fandt min fejl! :-)

Skriv et svar til: Løsning til xy'+y=1/x, der opfylder y(1)=4

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.