Matematik

Komplekse tal

04. august 2015 af Shaolina (Slettet) - Niveau: Universitet/Videregående

Hejsa!

Jeg har brug for lidt hjælp:

Hvordan reducerer jeg dette regnestykke, hvori et kompleks tal indgår?

R =\frac{-2 - \sqrt{2i}} 2

På forhånd tak!


Brugbart svar (1)

Svar #1
04. august 2015 af Soeffi

#0

Skal i stå under kvadratroden?


Brugbart svar (1)

Svar #2
04. august 2015 af PeterValberg

er i indenfor eller udenfor kvadratrodstegnet ?

- - -

mvh.

Peter Valberg
(YouTube)


Brugbart svar (0)

Svar #3
04. august 2015 af Stats

Pvm og Soeffi kom mig i forekøbet.. :-)
- - -

Mvh Dennis Svensson


Svar #4
04. august 2015 af Shaolina (Slettet)

i står indenfor kvadratrodstegnet.


Brugbart svar (0)

Svar #5
04. august 2015 af Soeffi

#0 

Hvordan lyder hele opgaven? 


Svar #6
04. august 2015 af Shaolina (Slettet)

Opgaven lyder blot på, at det skal reduceres så meget som muligt.


Brugbart svar (0)

Svar #7
04. august 2015 af Stats

Google siger, at den reducerede form er -1,5 - 0,5 i

Men jeg kan ikke se hvordan man kommer derhen
- - -

Mvh Dennis Svensson


Svar #8
04. august 2015 af Shaolina (Slettet)

Jeg mener, at der er en måde, hvorpå man kan tage kvadratroden af et kompleks tal. Desværre kan jeg ikke huske metoden, og den er vidst lidt indviklet også.


Brugbart svar (1)

Svar #9
04. august 2015 af Soeffi

Jeg har fundet følgende formel: (https://en.wikipedia.org/wiki/Square_root)...

\sqrt{i} = \frac{1}{\sqrt{2}}(1+i)


Svar #10
04. august 2015 af Shaolina (Slettet)

Synes stadig ikke, at det giver mening. Har fundet facit. Der står, at det skal give -1. Men hvordan søren man kommer frem til det, er mig et mysterium.


Brugbart svar (1)

Svar #11
04. august 2015 af Soeffi

Jeg får denne CAS løsning:


Svar #12
04. august 2015 af Shaolina (Slettet)

Jeg ved det ikke. Tror, at jeg venter og ser i morgen. Måske nogle andre herinde har nogle ideer. :)


Brugbart svar (1)

Svar #13
04. august 2015 af hesch (Slettet)

√(2i) = 1 + i , fordi

( 1 + i )( 1 + i ) = 12 + i2 + 2i = 1 - 1 + 2i = 2i

Man kan også sige:  2i = 2/ 90  => √(2i) = √2 / (90º/2) = √2 / 45º = 1 + i .

Så resultatet bliver

( -2 - (1 + i) ) / 2 = -3/2 - i/2


Brugbart svar (0)

Svar #14
05. august 2015 af SuneChr

# 8
For kvadratroden af et komplekst tal gælder der generelt:

\sqrt{a+ib}=\pm \left ( \sqrt{\frac{r+a}{2}}+i\sqrt{\frac{r-a}{2}} \right )\; \; b>0

\sqrt{a-ib}=\pm \left ( \sqrt{\frac{r+a}{2}}-i\sqrt{\frac{r-a}{2}} \right )\; \; b>0\; \; \; r=\sqrt{a^{2}+b^{2}}


Brugbart svar (0)

Svar #15
05. august 2015 af LeonhardEuler

#9 og #13: 

Det er delvist rigtigt. Det er rigtige svar er, som det også antydes i #14: 

     \pm \left (\frac{1}{\sqrt{2}}+i\frac{1}{\sqrt{2}} \right )

En anden måde at komme frem til dette resultat er at betragte ligningen

       x2 = i

ved at multplicere med i opnår du 

      i•x2 = -1 

ved at lægge de to ligninger sammen (eftersom de har samme rødder) får du ligningen

     (1 + i)x2 + (1 - i) = 0

og ved at benytte formlen til løsningen af andengradsligninger får du løsningerne (ved en smule reducering)


Brugbart svar (0)

Svar #16
05. august 2015 af LeonhardEuler

Som en tilføjelse til 14 og videreudvikling af generaliteten, så betragt ligningen:

     zn = z0             hvor z og z0 er komplekse tal

Enhvert z der løser ligningen for et givent zog n, må nødvendigvis være n-te rod af z0

Ved at omskrive til eksponentiel form, hvor  z = re , z0 = r0e0, opnås 

    rneiθn = r0e

Det vides nu, at hvis to komplekse tal i polære koordinater er lig med hinanden, så er deres modulus være lig med hinanden:

    rn = r0  ⇔ r = n√r0              eftersom r,r0 ≥ 0

For argumenterne kan vi midlertidig kun konkludere at 

    nθ = θ0 + 2πk  ⇔  θ = (θ0 + 2πk)/n       hvor k ∈ Z

Umiddelbart ligner det, at der eksisterer uendelig mange løsningerne til ligningen, men det er ikke tilfældet. Bemærk intervallet    k ≥  n ∧ k < 0     vil være på den ene eller anden måde periodiske gentagelser af intervallet     0 ≤ k < n , hvorfor vi kræver at   0 ≤ k < n  ⇔ k = 0, 1, 2, ... , n - 1

heraf fås at 

           \sqrt[n]{r_0e^{i \theta _0}}=\sqrt[n]{r_0}e^{i\frac{\theta +2\pi k}{n}}   ,   k = 0, 1, 2, ... , n - 1 

er alle de komplekse n'te rødder af z0.

Tilfældet med n = 2

           \sqrt{z_0}=\sqrt[n]{r_0}e^{i\frac{\theta +2\pi k}{n}}    k = 0 ,1 

                         =\sqrt{r_0}e^{i\frac{\theta}{2}} \vee \sqrt{r_0}e^{i(\frac{\theta}{2}+\pi)}

hvis vi sætter z0 = i = eiπ/2 

\sqrt{i}=\left\{\begin{matrix} e^{i\frac{\pi}{4}} = \cos \frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}+i\frac{\sqrt{2}}{2} \\ e^{i(\frac{\pi}{4}+\pi)}= \cos \frac{5\pi}{4} + i\sin\frac{5\pi}{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}-i\frac{\sqrt{2}}{2} \end{matrix}\right.

heraf   

\sqrt{i}=\pm \left (\frac{\sqrt{2}}{2}+i\frac{\sqrt{2}}{2} \right )=\pm \left (\frac{1}{\sqrt{2}}+i\frac{1}{\sqrt{2}} \right )


Skriv et svar til: Komplekse tal

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.