Matrixbetegnelse

Hilfe bitte!

Hvem kan hjælpe mig med at vise, at det system af ligninger, der dannes af nedenstående, giver en koefficientmatrix, der er diagonaldominant? (Højresiden har vel ikke noget at sige her?)

hvor j er ulige.

Jeg har prøvet at køre det symbolsk, dog uden held, men jeg har også prøvet med følgende værdier:

L = 2050, a = 1,023·10¹¹, b = -5,115·10⁸, c = 0 og d = 10,873.

Her har jeg udskrevet den ovenstående ligning for både j = 1 med i = {1,3} og j = 3 med i = {1,3}. Jeg kan simpelthen ikke få koefficientmatrixen til at give diagonaldominant.

Hvem kan bekræfte dette??

Sætter stor pris på den, der vil hjælpe!

Nu er der ikke angivet noget om hvad de forskellige dele står for så med forbehold

Alle led  indeholder jo kun en dimension j. i indgår ikke  undtagen i det sidste led og der skal der summeres over i. Det samme gælder højre side. Det svarer til at det er en vektor ikke en matrix. Hvis dette skal udvides til at det dækker en matrix vil der kun indgå diagonalelementer

#2

Det tror jeg ikke, at jeg forstod. Kan vi kigge på et eksempel i stedet?

For j = 1 med i = {1,3} har vi:

a(π/L)⁴α₁L/2 + b(π/L)²α₁L/2 + cα₁L/2 + 4d(L/π)²(α₁/1 + α₃/3) = _x=0∫^x=Lp(x)sin(πx/L)dx

For j = 3 med i = {1,3} har vi:

a(3π/L)⁴α₃L/2 + b(3π/L)²α₃L/2 + cα₃L/2 + 4d(L/π)²(α₁/3 + α₃/9) = _x=0∫^x=Lp(x)sin(3πx/L)dx

Er vi enige så langt?

Matrixelementer angives jo normalt med 2 index som a_i,j.  Du har kun et index j. Jeg har så gætte på at det i virkeligheden drejer sig om a_j,j. Det kan så være forkert; men så skal du altså komme med hvad a_i,j er

Af #3 kan man se, at man kan sammensætte ligningerne på følgende matrixform som jeg har gjort:

Ser det ikke korrekt ud #2?

Nej. Du skal jo summe over i i det sidste led hvorfor det sidste led ikke siger noget om at det er drejer sig om et  element som ikke ligger i diagonalem.  Du skal nok gå tilbage til den oprindelige opgave og se hvad der står der

#6

Jeg summer jo også over i? Se #3. Jeg tager bare de to første led, dvs. i = {1,3}. Både i og j er ulige.

Af det du har skrevet kan jeg kun se at du summer over i i det tredje led; men det er mindre væsentlig. Det væsentlige er at du får et element a_j og ikke et a_i,j.

Jeg kan heller ikke se begrundelsen får at du spreder det sidste led ud i to elementer, som ikke ligger i diagonalen

#8

Jeg forstår det ikke. Har sendt dig artiklen. Håber på, at du kan guide mig videre.

Jeg havde misforstået opgaven.

Om matricen er diagonal dominant kommer jo i høj grad an på hvad a, b, c, d og L er, så det kan ikke sådan bevises.  Med a = b = c = 0 (eller meget lille i sammenligning med d) er den ikke dominant i dit lille eksempel. Jeg tror du skal se på 3.1 om konvergensen for metoden

#10

Konstanterne har jeg givet i #1. Er min fremgangsmåde i #5 stadigvæk forkert?

Med de konstanter du angiver i #1 er c = 0 og ellers er d meget mindre end de andre konstanter. Dermed må du regne med at de elementer, der ikke er i diagonalen er væsentlig mindre end diagonalelementerne. Du kan jo prøve at sætte tallene ind i dit lille eksempel for at kontrollere.

Din fremgangsmåde i #5 er korrekt

#12

Jeg kommer frem til, at koefficientmatrixen ikke er diagonaldominant med de givne værdier i #1, selvom de i artiklen skriver, at det skulle den helst være.

Hvad mener du om "metode 3.1"?

Leddene der ligger uden for diagonalen aftager jo med j, medens de andre led stiger, så det kan tænkes at det er det der tænkes på

3.1 Convergence Study of the Gauss-Jacobi Iterative Method       nederst side 4 i din fil

#14

OK, men det forstår jeg ikke så meget af. Ikke noget jeg har arbejdet med før.

#14

Prøver jeg med j = {1,3,5} og i = {1,3,5}, så giver den absolutte værdi af diagonalen altid en større værdi end summen af den absolutte værdi af øvrige elementer i de respektive rækker - på nær element (1,1)! Det første element giver dog en værdi, der er mindre. Så er koefficientmatrixen vel ikke diagonaldominant?

Det du har er et lineært ligningssystem med n ubekendte α_j. Den mest almindelige metode til at løse sådan et ligningssystem er Gauss elimination. Metoden er enkel, effektiv, let at forstå og nem at implementere. Den har trods alt to svagheder.

1. Regnenøjagtigheden

Ved beregning skal man masser af gange trække to tal fra hinanden. Hvis disse to tal er omtrent lige store går det ud over nøjagtigheden. Hvis dette foregår mange gange ender man med at regne på afrundningsfejl. Der findes metoder til at gøre noget ved problemet. En metode er at ændre på Gauss eliminationen. Der findes også helt andre algoritme, der virker bedre. Disse algoritmer er langsommere, sværere at forstå og sværere at implementere. Helt undgå problemet kan man ikke da det er noget der ligger i selve ligningssystemet.

2. Store datamængder

Datamængden og tiden til at finde løsninger vokser med ligningssystemets størrelse. Hvis du har n ligninger med n ligninger med n ubekendte har du n²+n data. For forskellige værdier af n får du

n             antal tal

10                    110

100              10100

1000      1.001.000

Den sidste vil kræve ca. 4 Mb data

Dette synes meget lidt i dag, hvor man ikke kan købe en maskine med mindre end adskillige Gb, men i gamle dage var maskinerne væsentlig mindre. Det laveste jeg har hørt om er 4 kb. Disse 4 kb skulle rumme både styresystem, program og data.

Den metode, der er brugt her er en metode, som jeg for mange år siden har brugt på en programmerbar lommeregner, fordi der ikke var plads til disse data.

Tidsmæssigt er der kun noget at spare, hvis antal iterationer er væsentlig mindre end antal variable. Med få variable kan det næppe betale sig.

Rent umiddelbart synes jeg, det er dumt at bruge den; men der kan jo være lokale forhold jeg ikke kender.

Hvis du læser afsnittet om konvergensen kan du se at metoden kun forudsætter at i hver række er det mindste forhold mellem et ikke-diagonalelement og et diagonalelement mindre end 1, og det gælder i dit lille eksempel.

Med mindre du er specielt interesseret i denne algoritme synes jeg du skal lade det ligge. Det er ikke særlig vigtig

#17

Tak for det lange svar, men jeg tror ikke, at det løser problemet.

Hvad er egentlig forskellen i betegnelserne:

|e_i^(k+1)| og ||e^(k+1)||_∞

Det første er vel den numeriske værdi af e_i^(k+1), men hvad med det sidste?

Hvad betyder det, at forholdet mellem et ikke-diagonalt element og et diagonalt element er under 1?

Det er enform for afstand. Nornalt vil en vektors længde være angivet ved |x|=kvrod(x₁²+x₂²+x₃²+...x_n²) Dette afstandsbegreb kan generaliseres. ||x||_∞  er en af flere generalisering og kaldes en uendeligheds normen. Den er defineret ved at ||x||_∞ = max{|x_i|} altså den numeriske værdi af den koordinat som giver det største resultat.

Det er også en dårlig formulering. Det betyder at den numeriske værdi af diagonalelementet er større end den numeriske værdi ethvert andet element i rækken

#19

Okay. Jeg formoder, at de i artiklen må have brugt: a = d = L = 1, b = -1 og c = 0 (side 72 - afsnit 5), men de vælger sjovt nok ikke at skrive noget om det noget tidligere. Med disse konstanter, er matrixen diagonaldominant. Konstanterne giver bare ingen fysisk mening. Det er trods alt matematikere, der har skrevet artiklen.

Med de koefficienter, jeg har givet i #1, er λ < 1 ikke opfyldt for række nr. 2. Jeg har så fundet ud af, at matrixen ikke nødvendigvis skal være diagonaldominant, hvis der skal ske konvergens. Det er ikke et must.

Jeg lader det ligge, men kan du som det sidste forklare mig, hvad man gør i det følgende:

Man tager den numeriske værdi på begge sider, men hvordan kan man gå fra e_j^(k) til ||e^(k)||_∞?

Derudover, hvordan kan man vise, at man kan lave denne her omskrivning: