Udledning af formel for sluthastighed

En cylinder med inertimoment I og radius r som ruller ned ad en skråning fra starthøjden h₀, ikke sandt?

Den mekaniske energi i starten er

E_{mek, start} = mgh₀

Ved bunden af skråningen er den mekaniske energi

E_{mek, slut} = ½*m*v_slut² + ½*I*ω_slut²

Da den mekaniske energi er bevaret, har vi

mgh₀ = ½*m*v_slut² + ½*I*ω_slut²

Der gælder at

r*ω = v  <=>

ω = v/r

som vi indsætter

mgh₀ = ½*m*v_slut² + ½*I*v_slut²/r²  <=>

mgh₀ = (½*m + ½*I/r²)* v_slut²  <=>

v_slut = √( mgh₀ / (½*m + ½*I/r²) )  <=>

v_slut = √( 2gh₀ / (1 + I/(m*r²)) )

Ved du hvad de her klammer om nogle af tingene betyder []? :)

Og hvordan laver du sidste omskrivning?

[] skal vel bare forstås som almindelige parenteser. Når man har et udtryk med en masse parenteser, kan det skabe overblik hvis nogen af dem skrives med [] eller {} mens andre skrives med (). Så kan man nemlig bedre se hvilke parenteser der hører sammen.

mgh₀ / (½m + ½*I/r²)

Jeg forlænger brøken med 2:

2mgh₀ / 2*(½m + ½*I/r²) =

2mgh₀ / (m + I/r²)

Så forkorter jeg brøken med m:

2mgh₀/m / (m + I/r²)/m =

2gh₀ / (1 + I/(m*r²))

Tusind tak :D

Hvordan ville du forklare, hvorfor dette resultat giver god mening for et faldende og roterende legeme?

Synes lidt det ligner noget lineært divideret med noget angulært, men kvadratroden forvirrer mig. Synes ikke man direkte kan sige noget om sluthastigheden ved at kigge på resultatet..

v_slut = √( 2gh₀ / (1 + I/(m*r²)) )

Jeg synes nu ikke lige at jeg får en aha-oplevelse af at se det resultat.

Hvis legemet bare glider ned ad rampen uden at rotere, får man resultatet:

v_slut = √( 2gh₀ )

Nu bliver hastigheden så bare reduceret (der bliver divideret med noget) fordi der går noget energi til at sætte en rotation igang.