Monotoniforhold, tangenthældning og areal og stamfunktion

Opgave 1
En funktion er bestemt ved f(x)=1/3x³-4x²+12x

a) f'(x) til at argumentere for grafens forløb.
b) Undersøg, om grafen for f har en tangent med hældningskoefficient ??-5 .
c) Bestem arealet af det område, der afgrænses mellem grafen for f og x-aksen.

Min løsning

Finder f'(x) til at argumentere for grafens forløb

f'(x)=3*1/3*x^3-1-2*4*x^2-1+12

f'(x)=x²-8x+12=0

Løser andengradsligningen til x=2 og x=6

x               0                  2             4            6            8     

f'(x)           +                 0              -             0            +

f'(x) er voksende i intervallet ]-∞;2]

f'(x) er aftagende i intervallet [2;6]

f'(x) er voksende i intervallet [6;∞[

Maksimum i x=2 og minimum i x=6

b)

Undersøger om grafen for f har tangenhældningen -5

f'(x)=-5 angiver en tangent med hældningen -5. 

Jeg løser f'(x)=-5 for at finde ud af, om grafen muligvis kan have en tangenhældning på -5

f'(x)=x²-8x+12=-5

x²-8x+17=0  Andengradsligning

Da D<0 er der ingen løsninger til andengradsligningen. Da der ingen løsninger er, kan det ikke lade sig gøre for f at have en tangenthældning på -5

c)

Jeg bestemmer arealet af det område, der afgrænses mellem grafen for f og x-aksen

Jeg finder stamfunktionen til f(x) og løser f(x)=0 til at finde grænserne. Med grænserne mener jeg skærringen med x-aksen

f(x)=1/3x³-4x²+12x=0

Løst ved hjælp af cas til x=0 V x=6. f skærer x-aksen i punkterne (0,0) og (6,0)

F(x)=1/12x⁴-4/3x³+6x²

F(x)=₀∫⁶(1/3x³-4x²+12x)dx=⁶₀[1/12x⁴-4/3x³+6x²]=(1/12*6⁴-4/3*6³+6*6²)-(1/12*0⁴-4/3*0³+6*0²)=36-0=36

Arealet af af området mellem grafen og x-aksen er 36

Opgave 2

Bestem stamfunktionen til f(x)=4x+3, som går igennem punktet P(1,10)

F(x)=1/2*4*x¹⁺¹+3x+k

F(x)=2x²+3x+k

Går gennem P(1,10)

10=2*1²+3*1+k

10=2+3+k

10=5+k

k=5

F(x)=2x²+3x+5 er stamfunktion til f(x)=4x+3 og går gennem punktet (1,10)

Hvordan løser I disse opgaver? Det ville være en stor hjælp for mig, da jeg er ved at genopfriske matematikken