Genopfriskning af matematik opgaver

Opgave 1

Et beløb vokser med 55% på 8 år. Hvad var den årlige rente?

F=1+r/100

r=55%

F_8år=1+55/100

F_8år=1,55

F_1år=⁸√1,55=1,056

F=a+1 ⇔ a=F-1

a=1,056-1=0,056

Den årlige rente er 5,6%

Opgave 2

Et beløb er faldet med i alt 62%. Faldet pr. termin var 4,965%. Over hvor mange terminer er faldet sket?

F=1+r/100

F=1+-62/100

F=0,38

0,38=0,95035^x

log(0,38)=x*log(0,95035)

x=log(0,38)/log(0,95035)=19

Faldet er sket over 19 terminer

Opgave 3

I en model for afkøling af en bestemt væske kan væskens temp. T(grader celsius) som funktion af tiden t(timer) beskrives ved følgende sammenhæng T=21+59*e^(-1,066*t) 

Bestem væskens temp. efter 1 time, og beskrives betydningen af tallet 21. 

Min løsning

Når e=0, så er T=21. Væskens temperatur kommer aldrig under 21 grader celcius

T=21+59*e^(-1,066*1)≈41

Væskens temperatur er ca 41 grader celcius efter 1 times afkøling

Opgave 4

Grafen for f (x) = x³ - 12x² + 45x - 50 afgrænser sammen med førsteaksen i første kvadrant en punktmængde M, der har et areal.

Jeg finder græserne, altså funktionens skærring med x-aksen ved at løse f(x)=0

x³-12x²+45x-50=0

x=2 V x=5

A=⁵₂∫f(x)dx

A=⁵₂∫(x³-12x²+45x-50)dx=[1/4*x³⁺¹-1/3*12*x²⁺¹+1/2*45*x¹⁺¹-50x]^5₂=-125/4-(-38)=36,76

Opgave 5

En funktion f er bestemt ved f(x)=ln(x)-3x, x>0 

Gør rede for, at funktionen f har et maksimum, og bestem dette maksimum.

Maksimum eller minimum kan findes ved f'(x)=0

Bruger differentiationsreglerne (Ln)'=1/x og (ax)'=a til at bestemme f'(x)

f'(x)=1/x-3=0

1/x-3=0

x*(1/x-3)=0

1-3x=0

1-3x+3x=0+3x

1=3x

1/3=3x/x

x=1/3

f'(1/3)=0

For at afgøre om x=1/3 er et maksimum eller et minimum undersøger jeg grafens forløb

x                   1/4               1/3             1/2

f'(x)                +                  0                 -1

Grafen stiger for derefter at ramme et maksimum i x=1/3 for derefter at aftage. x=1/3 er et maksimum 

Opgave 6

To funktioner f og g er givet ved f(x)=1/3x³-4x+6 og g(x)=-x+6

f og g afgrænser i første kvadrat en punktmængde M, der har et areal. Bestem arealet af M

Grænserne er skærringen mellem f(x) og g(x)

f(x)=g(x)

1/3x³-4x+6=-x+6

1/3x³-4x+6-6+x=-x+6+x-6

1/3x³-3x=0

1/3x*(x²-9)=0

x=0 V x²-9=0

x=0 V x²-9+9=0+9

x=0 V x²=9

x=0 V √x²=√9

x=0 V x=-3 V x=3

3 er den øvre grænse, og -3 er den nedre grænse

³_-3∫(1/3x³-3x)dx=[1/4*1/3*x³⁺¹-3*1/2*x¹⁺¹]³_-3=[1/12x⁴-1,5x²]^3_-3=-6,75-(-6,75)=0

Det virker lidt mærkeligt, at arealet mellem grafen for f og g skulle have et areal på 0

Opgave 7

Funktionen f(x)=b*x^a opfylder, at f(2)=12 og f(4)=96

Bestem a og b

96=b*4^x

12=b*2^x

96/12=(b*4^x)/(b*2^x)

8=4^x/2^x           b'erne går ud med hinanden. (a^x/b^x)=(a/b)^x

8=2^x

log(8)=x*log(2)

x=log(8)/log(2)=3

12=b*2³

12=b*8

b=12/8=1,5

f(x)=1,5*x³

Jeg er blevet lidt glemsom med hensyn til matematikken, men jeg er ved at træne det lidt op igen, så det forhåbentligt bliver lidt bedre

Det ville være en stor hjælp, hvis I lige kunne kigge det igennem i forhold til metoderne, notationen og resultaterne

Tusind tak