Bestem k ved arealet

En funktion f er bestemt ved f(x)=x*(k-x) , hvor k er et positivt tal. Grafen for f afgrænser sammen med koordinatsystemets førsteakse en punktmængde M, der har et areal. 

Bestem tallet k, når det oplyses, at arealet af M er 100. 

f(x)=x*(k-x) 

jeg reducerer til f(x)=kx-x²

Jeg ved, at min nedre grænse som er 0. Min øvre grænse k er ukendt

Jeg finder stamfunktionen F(x) og kan dermed beregne arealet ved 100=F(k)-F(0)

F(x)=1/2*k*x¹⁺¹-1/3*x²⁺¹

F(x)=1/2*k*x²-1/3x³

F(k)=1/2*k*k²-1/3*k³=1/2k³-1/3k³=1/6k³

F(0)=0

A=F(k)-F(0)=1/6k³-0=1/6k³

F(x)=1/6k³ er udtrykket for selve arealet, som vi ved giver 100

100=1/6k³

k³=600

k=8,43

k er 8,43 når arealet er 100

Opgave 2

f(x)=x² -kx  og  g(x)= k*x

hvor k er et positivt tal. Graferne for f og g afgrænser en punktmængde M, der har et areal

a) Bestem k, så arealet af M er 36

Grænserne for arealet findes ved f(x)=g(x)

x²-kx=kx

x²-kx-kx=kx-kx

x²-2kx=0 

Andengradsligningen kan løses ved hjælp af 0-reglen

x*(x-2k)=0

x=0 V x-2k=0

x=0 V x=2k

Grænserne er altså 2k og 0

F(x)=((f(x)-g(x))'

F(x)=1/3x³+kx²

F(2k)=1/3*(2k)³+k*2k²=1/3*8k³+2k³=2k²+2k²=4k²

F(0)=0

A=F(2k)-F(0)

A=4k²-0=4k²

Vi ved, at arealet er lig med 36. F(x)=4k² er et udtryk for arealet

36=4k²

k²=36/4=9

k²=9

k=3

Når k=3, så er arealet lig med 36

Jeg er ved at øve mig på disse typer opgaver, da de er dukket op i flere eksamenssæt. Det ville være en stor hjælp, hvis der lige var en der kunne kigge udregningerne igennem

Tusind tak