Eksponentiel og potens-hjælp! Haster

Opgave 9

Sammenhængen mellem en tsunamis hastighed og vanddybden, den befinder sig ved, er givet ved ligningen
y = 3,132·d^0,5 
hvor y er hastigheden (målt i m/s), og d er vanddybden (målt i m).

a)  Bestem tsunamiens hastighed ved 100 meters vanddybde og ved 3 kilometers vanddybde.

3 kilometer svarer til 3000 meter. d=3000

y=3,132*3000^0,5=171,5

Tsunamiens hastighed er 171,5 m/s ved en vanddybde på 3 kilometer

d=100 meter

y=3,132*100^0,5=31,3

Tsunamiens hastighed er 31,3 m/s ved en vanddybde på 100 meter

b)

Hvor mange gange større er tsunamiens hastighed ved vanddybden d1 end ved vanddybden d, når
d1 er 5 gange større end d?

Den største dybde er 5 gange større end den mindste dybde

Dybden er altså 5 gange større, dvs. d er 5 gange større. Vi skal finde ud af, hvor mange gange større tsunamiens hastighed er ved den største vanddybde end ved den mindste vanddybde. Vi skal altså finde ud af, hvor meget y stiger, når d fordobles 5 gange. 

F_d=1+r/100

At blive 5 gange større svarer til en stigning på 400%

F_d=1+400/100=5

F_y=F_d^a

F_y=5^0,5=2,2361

r_y=(F_y-1)*100%

r_y=(2,2361-1)*100%=123,61%

Når d femdobles, vokser x med 123,61%. Dvs. at tsunamiens hastighed er 123,61% større ved vanddybden d1, som er 5 gange større end vanddybden d

I et bestemt land A er befolkningstallet til et bestemt tidspunkt 200 mio og den årlige vækstrate er 1,1%. I et andet land B er er befolkningstallet til samme tidspunkt 150 mio, og den årlige vækstrate er 1,6%

a)

Bestem fordoblingstiden for befolkningstallet A

Jeg starter med at finde forskriften

f(0)=200 →b=200

r=1,1%

a=1+r/100

a=1+1,1/100=1,011

f(x)=200*1,011 er forskriften for land A

f(x)=A's befolkningstallet i mio

x=antal år efter tidspunktet 

T₂=log(2)/log(a) hvor a>0

T₂=log(2)/log(1,011)=63,36

Land A's befolkningstal fordobles på 63,36 år

Bestem det tidspunkt hvor befolkningstallene i A og B er lige store 

For at finde ud af, hvornår befolkningstallene er lige store, sætter man funktionerne for de to landes befolkningstal sammen

Land A f(x=200*1,011^x

Land B f(x)=150*1,016^x

200*1,011^x=150*1,016^x

200/150*1,011^x=1,016^x

200/150=1,016^x/1,011^x

200/150=(1,016/1,011)^x

Bruger reglen log(a^x)=x*log(a)

log(200/150)=x*log(1,016/1,011)

x=log(200/150)/log(1,016/1,011)=58,31

Efter ca. 59 år vil A og B have det samme befolkningstal

Opgave 7

I et bestemt land er befolkningstallet de senere år aftaget med 0,5% om året til 150 millioner. I en prognose forudsættes det, at befolkningstallet vil fortsætte med at fale 0,5% om året.

a) Hvor mange år vil der gå, før befolkningstallet er faldet med 130 millioner?

Jeg starter med at opstille en funktion

Det er en eksponentiel funktion af typen f(x)=b*a^x. Vi har nemlig en årlig procentvis udvikling

f(0)=150→b=150

r=-0,5

a=1+r/100

a=1+(-0,5/100)=0,995

f(x)=150*0,995^x

f(x)=befolkningstallet og x=antal år

f(x)=130 da vi vil finde ud af, hvornår befolkningstallet falder til 130

130=150*0,995^x

130/150=0,995^x

log(130/150)=x*log(0,995)

x=log(130/150)/log(0,995)=28,5

Befolkningstallet vil falde til 130 mio efter ca 29 år

b) 

Hvor mange år vil der går før befolkningstallet er halveret?

T_1/2=log(0,5)/log(a)   0<a<1

T_1/2=log(0,5)/log(0,995)=138

Befolkningstallet halveres efter 138 år

Generelt for en potensfunktion:

                                                    
som i anvendelse
giver: