Matematik

Beregning af integral

12. februar 2016 af VTP - Niveau: Universitet/Videregående

Et område i planen er givet ved

$\Re =\left \{ (x,y):1\leq x^2+y^2\leq 4 \right \}.$

a) Skitser området $\Re$ .

b) Beregn integralet $\int \int _\Re \sqrt{x^2+y^2} dA$ .

Jeg vil meget gerne have hjælp til at opgave b).

Brugbart svar (1)

Svar #1
12. februar 2016 af peter lind

brug polære koordinater

Svar #2
13. februar 2016 af VTP

Sådan her?

$\sqrt{x^2+y^2}\Leftrightarrow \sqrt{(r·cos\theta )^2+(rsin\theta)^2}\Leftrightarrow \sqrt{(2cos\theta)^2+(2sin\theta)^2 }$

Brugbart svar (1)

Svar #3
13. februar 2016 af peter lind

Der skal stå lighedsteg ikke <=> mellem de udtryk

kvrod(x²+y²) = kvrod(r²) = r

grænserne er bestemt af 1<r<2

Svar #4
13. februar 2016 af VTP

Dvs. integralet kommer til at se sådan her ud?

$\int_{1}^{2}\int_{1}^{2}\sqrt{(2cos(\theta ))^2+(2sin(\theta ))^2}$

eller kan jeg godt skrive det sådan:

$\int_{1}^{2}\int_{1}^{2}2 dy dx$

Brugbart svar (1)

Svar #5
13. februar 2016 af peter lind

r er ikke en konstant. Hvis du bruger polære koordinater er integralet ∫∫_Ωf(x,ydxdy = ∫_a^b∫₀^2πf(r, θ) rdrdθ. Grænserne for θ gælder for dette tilfælde, og altså ikke i almindelighed.

Svar #6
14. februar 2016 af VTP

Jeg er helt lost. Hvordan beregner man så integralet ∫_a^b∫₀^?2πf(r, θ) rdrdθ ?

Brugbart svar (1)

Svar #7
14. februar 2016 af peter lind

I dette tilfælde er f(r,θ) = r ,a = 1, b = 2 så integralet bliver

∫₁²∫₀^2πr*rdrdθ = 2π∫₁²r²dr = ... Fortsæt selv herfra

Svar #8
14. februar 2016 af VTP

Jeg har prøvet at fortsætte og får resultatet til $\frac{14}{3}\pi$ .

Dog er jeg stadig i tvivl om, hvorda du kommer fra ∫₁²∫₀^2πr*r drdθ til 2π ∫₁² r²dr.

Jeg forstår ikke helt hvordan ∫₀^2πr²kan blive til 2π?

Brugbart svar (1)

Svar #9
14. februar 2016 af peter lind

Funktionen, der skal integreres er i dette tilfælde uafhængig af θ så ∫₁^2∫₀^2πr*rdrdθ = ∫₁²r²dr∫₀^2πdθ = ∫₁²r²dr*2π

Svar #10
14. februar 2016 af VTP

Okay. Så har jeg et spørgsmål mere. Hvordan bliver f(r, θ) omskrevet til r·r?

Brugbart svar (0)

Svar #11
14. februar 2016 af peter lind

Det gør det ikke. Ifølge opgaven er f(r,θ) = r. Det andet r kommer fra at dA = rdrdθ

Skriv et svar til: Beregning af integral

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.