Matematik

Grænseværdi: Har brøken en grænseværdi

13. februar 2016 af SuperManBat - Niveau: Universitet/Videregående

Jeg vil gerne have hjælp til at bevise med epsilon -delta definition af grænseovergang om brøken

$\frac{sin(x\cdot log(x)\cdot x)}{x\cdot log \cdot x}$

har en grænseværdi for $x\rightarrow 0_+$

på forhånd tak

Brugbart svar (0)

Svar #1
13. februar 2016 af mathon

$x\cdot \log\, \cdot \, x\; ?$

Svar #2
13. februar 2016 af SuperManBat

sorry det er

$x\cdot log(x)\cdot x$

Brugbart svar (0)

Svar #3
13. februar 2016 af StoreNord

$\frac{sin(x\cdot log(x)\cdot x)}{x\cdot log(x) \cdot x}$ har grænseværdien 1 ifølge Geogebra.

Svar #4
13. februar 2016 af SuperManBat

Hvordan finder man frem til det

Brugbart svar (0)

Svar #5
13. februar 2016 af StoreNord

.. og også fra venstre. Men jeg ved ikke hvordan man beviser det. :)

Brugbart svar (0)

Svar #6
13. februar 2016 af mathon

$\frac{sin(x\cdot log(x)\cdot x)}{x\cdot log(x) \cdot x}$ er kun defineret for $x\in \mathbb{R}_+$

$\log(x)\rightarrow -\infty \; for\; x\rightarrow 0^+$

Svar #7
13. februar 2016 af SuperManBat

jeg er ikke helt med mathon

hvordan skal jeg skal jeg bruge $sin(x)\rightarrow x \ for \ x\rightarrow 0$

for at bevise at grænseværdien er 1

Brugbart svar (0)

Svar #8
13. februar 2016 af Soeffi

#0 Find evt.

$\lim_{y\rightarrow 0+}\frac{sin(y)}{y}$

Brugbart svar (0)

Svar #9
13. februar 2016 af Therk

Hvorfor ikke bruge L'Hôpital's regel?

$\lim_{x\to0^+} x^2\log(x) = -\lim_{x\to0^+} \frac{-\log(x)}{1/x^2}$

se at du nu har et ""-udtryk. Anvend L'Hopital og se at udtrykket har grænseværdi 0. En taylorudvikling på sinus omkring nul (vi skal have argumenteret for ovenstående før dette giver mening!) giver

$\sin(x) = x + O(x^3), \quad x\to 0$

dvs.

$\lim_{x\to0^+} \frac{\sin(x^2\log x)}{x^2\log x} = \lim_{x\to 0^+}\frac{x^2\log x}{x^2\log x} = 1$

Svar #10
13. februar 2016 af SuperManBat

jeg bruger L'Hopital

og får

$\frac{sin(x)}{x}=\frac{\frac{d}{dx}sin(x)}{\frac{d}{dx}x}=\frac{cos(x)}{1}= \lim_{0^+}\frac{cos(x)}{1}=1$

Brugbart svar (0)

Svar #11
13. februar 2016 af Therk

Uha, du er godt nok ude i noget farlig notation. Jeg forstår godt hvad du mener, men generelt gælder der at

$\frac{\sin x}{x} \neq \frac{\cos x}1$

Husk at L'Hôpital's regel kun siger noget om grænseværdien og det, kun hvis den eksisterer.

Skriv et svar til: Grænseværdi: Har brøken en grænseværdi

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.