Matematik

Bestemmelse af Taylorpolynomie

13. februar 2016 af VTP - Niveau: Universitet/Videregående

Bestem Taylorpolynomiet af 4. grad for funktionen:

$f(x)=e^{x}+e^{-x}$

med udviklingspunkt a=0.

Jeg har prøvet at løse opgave sådan her:

$f(x)=e^{x}+e^{-x}$

$f'(x)=e^{x}-e^{-x}$

$f''(x)=e^{x}+e^{-x}$

$f'''(x)=e^{x}-e^{-x}$

$f''''(x)=e^{x}+e^{-x}$

$P_5(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\frac{f'''(0)}{3!}x^3+\frac{f''''(0)}{4!}x^4=1+1+(1-1)x+\frac{(1+1)}{2}x^2+\frac{(1-1)}{3}x^3+\frac{(1+1)}{4}x^4=2+\frac{2x^2}{2}+\frac{2x^4}{4}=2+x^2+\frac{1}{2}x^4$

Ser det rigtigt ud?

Brugbart svar (1)

Svar #1
13. februar 2016 af peter lind

Nej. Du kan slippe nemmere over det ved at bruge Taylorrækken for eksponentialfunktionen

e^x = 1 + x + x²/2! + x³/3! + x⁴/4! + ...

e^-x = 1 - x + (-x)²/2! (-x)³/3! + (-x)⁴/4! + ...

Adder nu de to rækker

Brugbart svar (1)

Svar #2
13. februar 2016 af AskTheAfghan

Du er på det rette spor, men du har lavet et par fejl.

Du mente nok P₄, ikke P₅, og du fjernede ! ved nævnerne.

Resultatet skal derfor være P_4,a=0 (x) = 2 + x² + (1/12) x⁴.

Svar #3
13. februar 2016 af VTP

Jeg forstår ikke helt hvordan man kommer frem til (1/12) x^4.

Brugbart svar (1)

Svar #4
14. februar 2016 af AskTheAfghan

#3 2/4! = 1/12. Du fjernede !, som det står i #2.

Svar #5
14. februar 2016 af VTP

Kan du forklare hvad betydningen er med !? :)

Brugbart svar (1)

Svar #6
14. februar 2016 af mathon

$n!=n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdot ......\cdot 3\cdot 2\cdot 1$

Svar #7
14. februar 2016 af VTP

Okay, mange tak!

Brugbart svar (1)

Svar #8
14. februar 2016 af peter lind

Det r bedre at skrive resultatet som

2*(1+x²/2!+x⁴/4!+x⁶/6!+ ...)

Sammenlign dette med taylorrækken for cosinusfunktionen

Skriv et svar til: Bestemmelse af Taylorpolynomie

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.