Matematik

Integrering af 4/kvadratrod(x)

28. april 2016 af ohio12 (Slettet) - Niveau: A-niveau

Hej :)

Jeg er gået helt i stå her. jeg skal integrere 4/√x og jeg ved at den skal give 8*x^(1/2), men hvordan det lige går for sig, det aner jeg ikke.

Håber nogle kan hjælpe!

Brugbart svar (0)

Svar #1
28. april 2016 af SådanDa

4/√x=4·x^-1/2

Brugbart svar (0)

Svar #2
28. april 2016 af Stats

$\int \frac{4}{\sqrt{x}}\ \mathrm dx=\int \frac{8}{2\cdot\sqrt{x}}\ \mathrm dx=8\cdot \int \frac{1}{2\sqrt{x}}\ \mathrm dx=8\cdot \left ( x^{\frac{1}{2}}+k \right )=8\cdot x^{\frac{1}{2}}+k$

Eller som #1 skriver :)

- - -

Mvh Dennis Svensson

Svar #3
28. april 2016 af ohio12 (Slettet)

så langt kom jeg faktisk også, og jeg går ud fra at x^-1/2 må være det samme som at gange med 2, men hvorfor ender den så med at hedder x^1/2? altså 8*x^1/2

Brugbart svar (0)

Svar #4
28. april 2016 af Stats

$\int x^n\ \mathrm dx=\frac{1}{n+1}\cdot x^{n+1}+k$

Ved x^-1/2

$\int x^{-\frac{1}{2}}\ \mathrm dx=\frac{1}{-\frac{1}{2}+1}\cdot x^{-\frac{1}{2}+1}+k=2\cdot x^{\frac{1}{2}}+k$

- - -

Mvh Dennis Svensson

Svar #5
28. april 2016 af ohio12 (Slettet)

okay, så vi skal have den til at ligne 1/2√x, korrekt? så derfor ganger vi tæller og nævner med 2, og får derved 8/2√x, og 8 sætter vi uden for integralet, så vi har 2√x stående tilbage i integralet, som så kan skrives som x^(1/2). Og så til sidst gange 8 på + en konstant. Er det rigtig forstået?

Brugbart svar (0)

Svar #6
28. april 2016 af Stats

#5 - Ja :)

Fordi jeg kan huske fra differential ligning, at (√x)' = 1/(2·√x), hvilket jeg gerne ville frem til.

At man ganger 2 i både tæller og nævner er tilladt.

- - -

Mvh Dennis Svensson

Brugbart svar (0)

Svar #7
28. april 2016 af SådanDa

At opløfte i en halv, er det samme som at tage kvadratroden, altså: √x=x^1/2, at opløfte i -1 er det samme som at sige 1 divderet med, altså: x^-1=1/x. Hvis vi sætter de to sammen har vi at 4/√x=4·x^-1/2. Dette udtryk kan integreres ved hjælp af reglen: ∫a·xⁿ dx =a/(n+1)*xⁿ⁺¹ +k.

Hvis man gør det (eller gør som i #2) får man at resultatet er 8·x^1/2+k som er det samme som 8·√x.

(Okay, jeg var vist lidt langsom med det her svar....)

Svar #8
28. april 2016 af ohio12 (Slettet)

Arh , for f****en... Var det bare det?.. jeg må virkelig være træt nu..

Mange tak for hjælpen :) og god aften!

Svar #9
28. april 2016 af ohio12 (Slettet)

Nu har jeg så lige et andet spørgsmål.

Jeg skal integrere 2*sin(-5*x-2)+4.

Jeg i forklare mig hvad der sker helt præcist når resultat bliver 2/5*cos(5*x+2)+4*x+k. Jeg ved godt hvorfor 4 bliver til 4x, så det behøver i ikke at forklare ;) det er mere hvad der skal med i forhold til brøken og skift af fortegn inde i parentesen.

Brugbart svar (0)

Svar #10
28. april 2016 af SådanDa

Man kan rykke 2 uden for integralet, så det er kun nødvendigt at fokusere på ∫sin(-5x-2) dx

sin(-5x-2)=sin(-(5x+2))=-sin(5x+2) (da sinus er en ulige funktion)
altså:

∫sin(-5x-2) dx= -∫sin(5x+2) dx =-(-cos(5x+2)·(1/5))+k=(1/5)cos(5x+2)+k (her er brugt integration ved substitution.)

Svar #11
28. april 2016 af ohio12 (Slettet)

okay jeg tror at jeg forstår. Du sætter sinus i minus fordi der faktisk står sin(-x) så dt er det samme som -sin(x)?

Brugbart svar (0)

Svar #12
28. april 2016 af Stats

$\\ \int 2\cdot\sin(-5\cdot x-2)+4\ \mathrm dx=\int 2\cdot\sin(-5\cdot x-2)\ \mathrm dx+\int 4 \ \mathrm dx\\ =2\int \sin(-5\cdot x-2)+\int 4\ \mathrm dx$

Det sidste integral led kan nemt integreres til ∫ 4 dx = 4·x + k

Det første led bliver man nødt til at anvende lidt substitution på. Lad derfor u = -5·x - 2 og dermed
du/dx = -5 ⇔ - 1/5 du = dx

Man har derfor:

$\\ 2\int \sin(-5\cdot x-2)=2\int \sin(u)\cdot \left ( -\frac{1}{5} \right )\ \mathrm du=-\frac{2}{5}\int \sin(u)\ \mathrm du\\ =-\frac{2}{5}\cdot \left ( -\cos(u)+k \right ) = \frac{2}{5}\cos(u)+k=\frac{2}{5}\cos(-5\cdot x-2)+k$

[(-2/5)·k er giver jo bare en ny konstant]

Hvis vi går tilbage til udgangspunktet, så får vi:

$\\ \int 2\cdot \sin(-5\cdot x-2)+4\ \mathrm dx=\left ( \frac{2}{5}\cos(-5\cdot x-2)+k \right )+\left ( 4x+k \right )\\ = \frac{2}{5}\cos(-5\cdot x-2)+4x+C$

Hvor konstanten fra det ene intregral led og fra det andet integral led lægges sammen, og betegnes med C i udregningen.

- - -

Mvh Dennis Svensson

Brugbart svar (1)

Svar #13
28. april 2016 af SådanDa

I substitutionen bruger jeg t=5x+2: dt/dx=5 => dx=(1/5)·dt

∫sin(-5x-2) dx=∫sin(-(5x+2)) dx = ∫sin(-t)·(1/5) dt = ∫-sin(t)·(1/5) dt =-(1/5)∫sin(t) dt=-(1/5)·(-cos(t))=(1/5)cos(t)=(1/5)cos(5x+2). Sådan kan man gøre det.

Svar #14
28. april 2016 af ohio12 (Slettet)

# 12

problemet er bare at det står med forkert fortegn i parentesen, det du har regnet ud. Jeg fik det også først til det du har fået Dennis, men det er nogle opgaver jeg har fået stillet i Maple TA og det giver mig svaret med det samme, og der er det (5x+2) i parentesen og ikke (-5x-2)..

# 13

jeg er helt med på den udregning :)

mange tak for hjælpen!

Brugbart svar (0)

Svar #15
28. april 2016 af SådanDa

Bemærk at cosinus er en lige funktion, så cos(-5x-2)=cos(-(5x+2))=cos(5x+2).

Altså er (2/5)cos(-5x-2)+4x=(2/5)cos(5x+2)+4x. Så begge dele er altså rigtigt.

Brugbart svar (0)

Svar #16
28. april 2016 af mathon

kort
$\int \left (2\sin(-5x-2)+4 \right )\mathrm{d}x=2\int \left (\sin(-5x-2)+2 \right )\mathrm{d}x=$

$2\int \left (\sin(-(5x+2))+2 \right )\mathrm{d}x=2\int \left (-\sin(5x+2)+2 \right )\mathrm{d}x=$

$2\left ( \frac{1}{5}\cdot \cos(5x+2) +2x\right )+k=\frac{2}{5}\cdot \cos(5x+2) +4x+k$

Skriv et svar til: Integrering af 4/kvadratrod(x)

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.