Matematik

Eksamensspørgsmål vedrørende differentialregning

01. maj 2016 af 123434 - Niveau: B-niveau

Spørgsmål 1: Gør rede for begrebet differentialkvotienten 

Spørgsmål 2: Gør rede for sammenhængen mellem monotoniforhold for en differential funktion og fortegnet f'

1)

Differentialkvotienten i et bestemt punkt er tangentens hældning. Differentialkvotienten, dvs. tangentens hældning, kan bruges til at finde ud af om funktionen vokser eller aftager i et bestemt punkt

Differentialkvotienten betegnes med f'(x)

Differentialkvotien er det samme som hældningen af en tangenten

2)

Monotoniforhold er en kortlæggelse af grafens forløb

I en monotoniundersøgelse undersøges f'(x), dvs. tangentens hældning. f'(x) er hældningen af tangenten og siger dermed noget om i hvilke intervaller, grafen er konstant, vokser eller aftager

Hvis f'(x)>0 i et interval, så er grafen voksende i dette interval

hvis f'(x)<0 i et interval, så er grafen aftagende i dette interval

Der hvor funktionen har lokalt maksimum eller lokalt minimum, så gælder det, at f'(x)=0. Det kan dog ske, at en graf har en vandret vendetangent. En vandret vendetangent har en differentialkvotient på 0 uden at være maksimum eller minimum

Med hensyn til vandret vendetangenten, så kan en graf starte ud med at vokse og derefter flade ud og derefter vokse igen. Ligeledes kan grafen starte ud med at aftage og derefter flade ud og derefter flader ud. Hvis en graf har samme fortegn på begge sider af f'(x)=0, så er f'(x)=0 en vandret vendetangent

Et konkret eksempel med beregning af monotoniforholdene

f(x)=-x3-3x2+9x

Jeg starter med at finde f'(x)=0

f'(x)=3*-x3-1-3*2*x2-1+9=0

f'(x)=-3x2-6x+9=0

Jeg løser andengradsligningen -3x2-6x+9=0

d=b2-4ac

d=-62-4*-3*9

d=36+108=144

Da d er større end 0, så har andengradsligningen to løsninger

x=(-b+-√d)/2a

x=(6+-√144)/(2*-3)

x=-3 V x=1

Så f'(-3)=0 og f'(1)=0

x         -5            -3          0           1         3

f'(x)      -             0           +           0         -

f'(x) er aftagende i intervallet ]-∞;-5]

f'(x) er voksende i intervallet [-3;1]

f'(x) er aftagende i intervallet [1,∞[

Lokalt minimum i x=-3 og lokalt maksimum i x=1

Det ville være en stor hjælp, hvis der lige var en der kunne kigge det igennem. Jeg tænker desuden om, der er flere ting, jeg kunne inddrage i min forklaring. 


Brugbart svar (0)

Svar #1
02. maj 2016 af peter lind

Med forbehold for at jeg ikke kender kravene:

1. Kom med definitionen på differentialkoefficient altså som grænseværdi for differenskoefficient. Her er det også rimeligt at du snakker om sekant og tangenthældning


Skriv et svar til: Eksamensspørgsmål vedrørende differentialregning

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.