Matematik

Forståelse af Abstrakt algebra - HASTER LIDT

02. maj 2016 af FrejaNivi - Niveau: 10. klasse

Hej.

Jeg er igang med at skrive en afslutende opgave i matematik om Emmy Noether og abstrakt algebra.

Jeg er lidt forvirret over hvad det går ud på og kunne godt bruge lidt hjælp til at finde ud af hvordan det bruges og fungerer og om man kan bruge det til noget, hvis man ikke er matematiker eller læser til matetatiker eller noget i den retning.


Brugbart svar (0)

Svar #1
03. maj 2016 af Eksperimentalfysikeren

Det giver en vis rutine i at tænke abstrakt. Det kan så bruges i andre sammenhæng.


Brugbart svar (1)

Svar #2
03. maj 2016 af hesch (Slettet)

#1:  Noether tænker blandt andet på algebra, hvor de kommutative love ikke gælder. F.eks. er vi vant til at

a * b = b * a   ( faktorernes orden er ligegyldig )
og
a + b = b + a

For matricer kan gælde at

A * B  ≠  B * A

Derfor kan man ikke dividere matricer op i hinanden, ( A / B ), men man kan invertere B, der så bliver til B-1. Men skal man så foretage divisionen ved  A * B-1  eller ved  B-1 * A ?  Det giver to forskellige resultater!

Noerth kommer så bl.a. ind på det hun kalder ring-domæner, der vel skal opfattes som en forvrænget (abstrakt) talplan, fra den normale talplan, der kan være et lineært eller logaritmisk koordinatsystem, som vi kender det.

Jeg ved ikke noget om det, men man har fx Laplace transformationer og z-transformationer, hvor man afbilder svingninger, dæmpninger og tidforsinkelser i en s-plan eller en z-plan, der ikke har andet med tid at gøre end at fx den z-transformerede af en sinusfunktion ( a * e-bt * sin ωt ) udgøres af to komplekse rødder (poler) i z-planen, fordi man har z-transformeret sinusfunktionen.

Det store spørgsmål er, hvad alt dette abstrakte algebra har med 10. klasse at gøre ?


Svar #3
03. maj 2016 af FrejaNivi

Jeg går i en prøvefri gymnasieforberedende klasse, og da skulle vi alle vælge et emne vi ville skrive om, og jeg ville skrive om en kvindelig matematiker og det hun arbejdede med, og det så der det abstrakte algebra kom ind i billedet.


Brugbart svar (1)

Svar #4
03. maj 2016 af hesch (Slettet)

Jeg forstår, men alle kendte matematikere, uanset køn, har det nyere tid med at svæve lidt højt over vandene, måske endda lidt uden for synsvidde.

Deres "mellemregninger" er ( for mig ) komplet uforståelige, men slutresultatet er anvendeligt, bl.a. til viderebygning af matematikken.

Jeg tænker her på en matematiker der beviste at ligningen:

Zn = Xn + Yn  ( X, Y, Z, n er alle heltal ) ikke har nogen løsninger overhovedet,  for n > 3.

Det mærkelige er, at for n ≤ 3, findes der uendeligt mange løsninger.

Den hedder "Fermat's store ligning".  Fermat udfordrede alverdens matematikere til at bevise/modbevise sin påstand. Det lykkedes en engelsk matematiker at bevise den efter 7 års arbejde. 

Jeg har hørt at omkring 10 mennesker i verden forstår beviset. Det fylder en telefonbog, men resultatet kan bruges i andre sammenhænge hvor problematikken dukker op.


Svar #5
03. maj 2016 af FrejaNivi

Det her stykke som du skrev: "Men skal man så foretage division ved A * B-1  eller ved B-1 * A ? Det giver to forskellige resultater!"

Det forstår jeg ikke helt. Er det meningen at A skulle divideres med B-1 ?


Brugbart svar (1)

Svar #6
03. maj 2016 af hesch (Slettet)

Nej,  fx  7 / 5 = ??

Man "inverterer" så 5 :   5 inverteret = 1/5 = 0,2

7 / 5 = 7 * 0,2 = 0,2 * 7 = 1,4

Det er så her forskellen er ved matricer:  7 * 0,2 ≠ 0,2 * 7  hvis du forstår.


Svar #7
03. maj 2016 af FrejaNivi

Hvordan skal det her forstås:

7 * 0,2 ≠ 0,2 * 7  ?

Det her tegn " ≠ " betyder jo at det ikke er lig med


Brugbart svar (0)

Svar #8
03. maj 2016 af hesch (Slettet)

Du kan læse mere om det her:

https://en.wikipedia.org/wiki/Emmy_Noether

i fx afsnittet: Integers as an example of a ring

( følg evt. link's ( blå tekst) )


Brugbart svar (0)

Svar #9
03. maj 2016 af Eksperimentalfysikeren

Et simpelt eksempel på ikkekomutativitet er drejninger i rummet om de tre koordinatakser. Prøv at tage to ens terninger og  læg dem ens på bordet. Drej nu den ene terning en kvart omdrejning om den lodrette akse og derefter om aksen væk fra dig. Gør det samme men i modsat rækkefølge med den anden. De ligger nu forskelligt. Dette kan skrives, idet X betegner drejning om x-aksen osv.: X*Y ≠ Y*X. Dette er et specialtilfælde af den af hesh omtalte ikkekommutativitet for matricer.

Et andet, lidt mere kompliceret eksempel er kvaternioner. Man kan udvide de reelle tal til de komplekse tal ved at indføre et tal i, som opfylder at i2 = -1. Kvaternioner fremkommer ved at man udvider med yderligere j og k, der har den samme egenskab. Desuden gælder der, at i*j = k, j*k=i og k*i=j. For at dette skal kunne være opfyldt, skal f.eks. j*i = -1.

Kvaternioner bruges i computergrafik til beregning af drejninger i rummet.

Noget helt andet er, at man kan benytte en form for restklasseregning (dog med polynomier i stedet for tal) til at generere fejlkorrigerende koder. En af metoderne benyttes i netværksprotokoller. Man deler meddelelserne op i blokke af fast længde, betragter bitrækken som en række koefficienter til et polynomium i totalssystemet, dividerer med et specielt udvalgt polynomium og tilføjer den fremkomne rest efter selve meddelelsen. Ved modtagelsen foretager man den samme division og sammenligned med resten. Hvis der er kommet en fejl undervejs, vil de to rester være forskellige. Hvis der ikke er for mange fejl, kan man bruge forskellen mellem de to rester til at finde den eller de bits, der er forkerte. I netværk vil man ofte anmode om gentransmission i tilfælde af fejl, men da Giotto i sin tid var på sin mission i rummet, kunne den være blevet knust inden de data den sendte var nået  frem til jorden, så man var nødt til at benytte en teknik, der tillod rekonstruktion af data.


Skriv et svar til: Forståelse af Abstrakt algebra - HASTER LIDT

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.