Induktion af følger

Det er en altererende kvotientrække. Den er konvergent for kvotienten højst 1. desuden er den konstant for den sidste parentes lig 0

Hej Peter Lind 

Mange tak for dit svar 

kunne du måske forklarer nærmere hvordan du kan se at den er  altererende og den er konvergent.

n indgår udelukkende i udtrykket (-c)ⁿ.  Da c > 0 skifter den mellem er positiv og negativ altså er den alternerende. Desuden er det en kvotientrække med kvotienten -c. Den er kun konvergent for c ≤ 1 hvilket gælder for kvotientrækker. Undtagelsen her er hvis den sidste parentes er 0, idet så bliver der kun det første led tilbage som er en konstant 

Fedt mange tak for din forklaring

Kan du hjælpe med Induktionsbeviset er virkelig forvirret omkring det 

Sæt n = 0 i den resulterende formel. Det giver a₀, så den holder for n = 0.

I definitionen an = b-c*an-1  indsætter du på pladsen for a_n-1 den resulterende gormel med n erstatte af n-1. Det reducerer du så så meget du kan

Jeg har prøvet at reducerer udtrykket så meget jeg kan.Jeg får 

Du har en fejl i den første linje, der har gjort resten meget besværlig for dig

b-c*a_n-1 = b-c(b/(1+c)  +(-c)^n-1(a₀-b/(1+c)) = b-cb/(1+c)+(-c)ⁿ(a₀+b/(1+c))

Sæt de to første led på fælles brøkstreg og du er hjemme

Jeg får det her 

Du skulle sætte de første to led på fælles brøkstreg. det giver b-c*b/(1+c) = ( b(1+c)-c*b)/(1+c) = b/(1+c) Nu har du formlen for c_n stående så ifølge indukstionaksiomet holder påstanden

bare for en sikkerheds skyld

Induktionstart n=0

Induktionsskridt 

Er vi enige? 

Nej. I den førrste linje med udregninger mangler der en startparentes efter det første c og en slutparentes  til aller sidst

næste linje b er ikke kommet på brøkstregen endnu

Er 0 ∈ N? Vis at den er sand for n = 1 og n = 2. Antag at den er sand for n = k. For at vise, at den er sand for n = k + 1, kan du benytte den smarte trick, (-c) b/(1 + c) - (-c) b/(1 + c) = 0, således at du kan skrive a_k+1, der indeholder a_k. Du har altså

a_k+1 = b/(1 + c) + (-c)^k+1(a₀ - b/(1 + c))

       = b/(1 + c) + (-c)(-c)^k(a₀ - b/(1 + c)) + (-c) b/(1 + c) - (-c) b/(1 + c)

       = ...

Vis nu, at resultatet stemmer overens med a_k+1 = b - ca_k.

Hej AskThe Afghan 

Kan ikke helt får det rigtig resultatet efter lignen 

= b/(1 + c) + (-c)(-c)k(a0 - b/(1 + c)) + (-c) b/(1 + c) - (-c) b/(1 + c)

hvordan kan det blive til  [a_{k+1}] ?=b-c

se #1

#13     Efter denne trin får man  b/(1 + c) + (-c)a_k - (-c) b/(1 + c). Reducer videre.