Matematik

komplekst polynomium

25. juni 2016 af onewingedweeman (Slettet) - Niveau: Universitet/Videregående

jeg har et komplekst polynomium givet ved:

z^{3}-4*z^{2}-2z+20

jeg skal vise at -2 er rod i polynomiet, finde samtlige rødder og skrive polynomiet på fuldstændig faktoriseret form.

jeg har en ide om at jeg skal finde polynomiets kvadratiske form for at finde rødderne, men hvordan finder jeg den kvadratiske form ? og hvordan finder jeg den fuldstændig faktoriseret form ?


Brugbart svar (0)

Svar #1
25. juni 2016 af Eksperimentalfysikeren

Du skal gå meget mere brutalt frem. Indsæt -2 i polynomiet og regn resultatet ud. Det skulle gerne give 0, da det er påstået at -2 er rod.

Når -2 er rod i polynomiet, går z+2 op i polynomiet, så du dividerer polynomiet med z+2.

Så har du et andengradspolynomium.


Brugbart svar (0)

Svar #2
25. juni 2016 af mathon

                     (-2)^3-4\cdot (-2)^2-2(-2)+20

                     -8-16+4+20=0
hvorfor -2 er rod.

Når -2 er rod, er z-(-2) divisor i polynomiet:

                     \frac{z^3-4z^2-2z+20}{z+2}=z^2-6z+10

hvoraf
                     z^3-4z^2-2z+20=(z+2)(z^2-6z+10)=(z+2)(z-(3+i))(z-(3-i))=

                                                                               (z-(-2))(z-(3+i))(z-(3-i))
                    


Brugbart svar (0)

Svar #3
25. juni 2016 af mathon

detaljer:
                      z^2-6z+10=0

                      z=\frac{-(-6)\mp \sqrt{(-6)^2-4\cdot 1\cdot 10}}{2}=\frac{6\mp \sqrt{-4}}{2}=3\mp \sqrt{-1}=\left\{\begin{matrix} 3-i\\3+i \end{matrix}\right.


Svar #4
25. juni 2016 af onewingedweeman (Slettet)

fair nok, men hvordan med den fuldstændig faktoriseret form ?


Brugbart svar (0)

Svar #5
25. juni 2016 af Eksperimentalfysikeren

(z-r1)(z-r2)(z-r3)


Brugbart svar (0)

Svar #6
25. juni 2016 af mathon

hvoraf faktoriseringen:

                     z^3-4z^2-2z+20=(z+2)(z^2-6z+10)=(z+2)(z-(3+i))(z-(3-i))=

                                                                               (z-(-2))(z-(3+i))(z-(3-i))

med rødderne
                                   z=\begin{Bmatrix} -2\\3-i \\ 3+i \end{Bmatrix.}


Skriv et svar til: komplekst polynomium

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.