Matematik

rødder af komplekst polynomium på kvadratisk form

26. juni 2016 af onewingedweeman (Slettet) - Niveau: Universitet/Videregående

jeg har en ligning

Q(z)=z^4+1

som jeg skal finde alle rødderne for på formen a+ib.

jeg har en ide om at jeg skal forkorte den til en andengradsligning, men jeg ved ikke hvorfor, siden jeg ikke har nogen rødder. ellers hvordan gør jeg ?


Brugbart svar (0)

Svar #1
26. juni 2016 af Stats

z4 + 1 = 0

z4 = -1

z2 = ±i

z =ʱñi

(z + √i)(z - √i)(z + √-i)(z - √-i) = (z2 - i)(z + √-i)(z - √-i) =
(z3 + z2√-i - iz - i√-i)(z - √-i) = z4 - z3√-i + z3√-i - z2(√-i)2 - iz2 + iz√-i - iz√-i + i(√-i)2 =
z4 - z2(√-i)2 - iz2 + i(√-i)2 = z4 + z2i - iz2 + i(√-i)2 = z4 - i2 = z4 + 1

Derfor er z = ±√±i en løsning til Q(z) = 0

- - -

Mvh Dennis Svensson


Brugbart svar (0)

Svar #2
26. juni 2016 af Soeffi

#0


Brugbart svar (1)

Svar #3
26. juni 2016 af peter lind

Hvis det skal regnes uden brug af casværktøj har man

z4 = -1 = eiπ+2pi og dermed

z = e(iπ+2pπi)/4

Indsættelse af 0,1, 2, eller 3 på p's plads og brug af e = cos(θ)+isin(θ) giver så resultatet i #2

#1 man vil forlange en reduktion så facit angives på formem a+bi


Svar #4
26. juni 2016 af onewingedweeman (Slettet)

#3 hvordan kom du frem til e^{i*\pi +2*p*i } ?


Brugbart svar (1)

Svar #5
26. juni 2016 af peter lind

Beklager. Jeg har en fejl. Det rigtige er

z4 = -1 = eiπ+2pπi

hvilket også er brugt i linjen nedenunder


Svar #6
26. juni 2016 af onewingedweeman (Slettet)

okay, men hvordan kom du så frem til e^{I*\pi +2*p*i} ?


Brugbart svar (1)

Svar #7
26. juni 2016 af peter lind

 eiπ+2pπi = cos(π+2pπ)+ isin(π+2pπ) = cos(π)+isin(π) = -1 +i*0 = -1

Se evt på enhedscirklen i et koordinatsystem


Svar #8
26. juni 2016 af onewingedweeman (Slettet)

så z er lig med cos(\frac{\pi +2*p*\pi }{4})+I*sin(\frac{\pi +2*p*\pi}{4} ) (efter at man har taget højde for potensen) ?


Brugbart svar (0)

Svar #9
26. juni 2016 af peter lind

ja


Svar #10
26. juni 2016 af onewingedweeman (Slettet)

okay. hvor kommer 2-tallet i potensen til e fra ?


Brugbart svar (0)

Svar #11
26. juni 2016 af peter lind

cosinus og sinus funktionerne er periodisk med perioden 2π, hvilket svarer til at eksponentialfunktionen er periodisk med perioden 2πi

NB det hedder rektangulær form ikke kvadratisk form


Brugbart svar (0)

Svar #12
27. juni 2016 af Eksperimentalfysikeren

Der bør nok lige regnes et trin længere, da

cos(\frac{\pi + 2*p*\pi}{4} )+ i*sin(\frac{\pi + 2*p*\pi}{4} )

Kan skrives som

\frac{\pm \sqrt{2} \pm i\cdot \sqrt{2}}{4}

Hvor fortegnene afhænger af p.


Skriv et svar til: rødder af komplekst polynomium på kvadratisk form

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.