Matematik

Differentiation af e^x

27. juni 2016 af sjls - Niveau: B-niveau

Jeg går og undrer mig lidt over, hvordan det kan være, at e^x differentieret altid giver sig selv. Jeg kan godt se, at det giver mening i lyset af Eulers eksponentialfunktion, men hvis jeg bruger tretrinsreglen på en tilfældig forskrift med e^x, ender jeg op med dette:

$y=\frac{5}{2}e^x$

Funktionstilvæksten findes:

$\Delta y=f(x_0+h)-f(x_0)=\frac{5}{2}*e^{x_0+h}-\frac{5}{2}*e^{x_0}$
$\Delta y=\frac{5}{2}{e^{x_0}e^h}-\frac{5}{2}e^{x_0}$

Sekantenshældning (differenskvotienten) findes:

$a_s=\frac{\frac{5}{2}{e^{x_0}e^h}-\frac{5}{2}e^{x_0}}{}{h}=\frac{5}{2}*\frac{e^{x_0}e^h}{h}-\frac{5}{2}*\frac{e^{x_0}}{h}$

Differentialkvotienten findes:

$a_t=\lim_{h\rightarrow 0}(\frac{5}{2}*\frac{e^{x_0}e^h}{h}-\frac{5}{2}*\frac{e^{x_0}}{h})$

Det er her, jeg lidt går i stå. Hvis jeg sætter Maple til at solve ovenstående, ender jeg ud med det resultat, jeg i forvejen ved er rigtigt -
$a_t=\frac{5}{2}e^x$

Problemet er bare, at jeg ikke helt forstår resultatet, fordi man jo ikke kan dividere med 0. Så når h går mod nul, vil ligningen jo hedde:

$a_t=\frac{5}{2}*\frac{e^{x_0}}{0}-\frac{5}{2}*\frac{e^{x_0}}{0}$ ,
hvilket er "ulovligt" i matematikken?

Er der nogen flinke og friske mennesker, der vil forklare mig dette?
Tak på forhånd. :)

Brugbart svar (0)

Svar #1
27. juni 2016 af Eksperimentalfysikeren

Du skal regne lidt videre på udtrykket, så du får samlet den del, der har noget med h at gøre. Dette vil være en brøk, hvor både tæller og nævner går mod nul for h gående mod 0.

Ser du på en brøk som h/h, kan du se, at den ikke er defineret for h=0, men grænseværdien af funktionen f(h) = h/h er 1, fordi h/h er 1 for alle værdier af h tæt ved 0 ( og iøvrigt for alle andre værdier af h).

Svar #2
27. juni 2016 af sjls

Tak for svaret.
Nu har jeg siddet længe og prøvet og prøvet på at finde ud af det, men jeg kan ikke helt få det til at fungere...Kan du eventuelt forklare mig, hvordan jeg samler h'erne i udtrykket?

Brugbart svar (0)

Svar #3
27. juni 2016 af Eksperimentalfysikeren

I nedenstående udtryk kan du sætte 5/2*e^x₀udenfor enparentes. Indholdet af parentesen samles på en enkelt brøkstreg.

$a_t=\lim_{h\rightarrow 0}(\frac{5}{2}*\frac{e^{x_0}e^h}{h}-\frac{5}{2}*\frac{e^{x_0}}{h})$

Brugbart svar (0)

Svar #4
27. juni 2016 af AskTheAfghan

Når man lader h gå mod 0, betyder det ikke, at man sætter h = 0 ind i formlen.

For simpelhedens skyld, kan du starte med at lade g(x) = e^x, således at f(x) = (5/2)g(x).

Overbevis dig selv, at (g(x₀ + h) - g(x₀))/h = ((e^h - 1)e^x₀)/h → e^x₀ for h → 0. Prøv beregn det numerisk, sæt h = 0.1, 0.01, 0.001 etc. og se hvad det sker, hvis h → 0.

Ved brug af dette, har du da (f(x₀ + h) - f(x₀))/h = (5/2)(g(x₀ + h) - g(x₀))/h → (5/2) e^x₀ for h → 0.

Brugbart svar (0)

Svar #5
28. juni 2016 af mathon

for den differentiable funktion f(x)
har man:

$\underset{x \to x_o }{ \lim} \frac{f(x)-f(x_o)}{x-x_o}=f{\, }'(x_o)$

for den omvendte funktion $f^{-1}(y)$
har man:

$\underset{y \to y_o }{ \lim} \frac{f^{-1}(y)-f^{-1}(y_o)}{y-y_o}=\frac{x-x_o}{f(x)-f(x_o)}=\frac{1}{f{}'(x_o)}$

som når
$f(x)=y=\ln(x)\; \; \; \; \; \; Dm(f)=\mathbb{R_+}\; \; \; \; \; Vm(f)=\mathbb{R}$

pr. definition
giver:
$f{}'(x)=\frac{1}{x}$
og

$f^{-1}(y)=e^y=x$

$\mathbf{\color{Red} \left (e^{\, y} \right ){}'}=\frac{1}{\ln{}'(x)}=\frac{1}{\frac{1}{x}}=x= \mathbf{\color{Red} e^{\, y}}$

Skriv et svar til: Differentiation af e^x

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.