Potensfunktion

Hvis 
                               

#1 Kan dette forklares med ord?

Hvis kan definitionsmængden udvides,
da
                                    for
                                                                                                                                         

                                    for
       

Hvis ikke er hel
 er
                               med definitionsmængden                         

Hvis er hel
 er
                               med definitionsmængden  som kendt fra
                                                                                                                                            folkeskolen
                       

Jeg er desværre ikke med på, hvad du forsøger at vise mig. Jeg troede netop ikke, at a befinder sig inden for mængden af hele tal, da denne jo også inkluderer de negative tal.

#5
        er vist i #1.

Se f.eks. på g₁(x) := x^1/2, og tjek om g₁(-1) har mening. (Det har den ikke, og det samme gælder for størrelsen g₁(x) for alle x < 0). Hvis der stod et eller andet heltal i stedet for 1/2, har den mening. For eksempel g₂(x) = x², og g₂(-1) har mening. Prøv selv at give andre eksempler for at overbevise dig selv. For at gøre det mere generelt: Hvis a er heltal, så er x^a defineret for alle x. Hvis a er ikke heltal, så er x^a defineret for alle x > 0. Værdien b i funktionen f(x) = bx^a ændrer ikke på definitionsmængden.

Tak for svaret. Problemet er bare, at når jeg bruger Nspire, kan jeg godt få et resultat ud af at opløfte et negativt tal i en brøk eller i et decimaltal.

#8     Kan du give et eksempel, for vi kan ikke se hvad du har gjort. Måske er der en god grund til det.

Dannes en graf, vil definitionsmængden ganske rigtigt ikke antage negative værdier, men indtaster man en simpel ligning som fx:

Fås altså et resultat - hvorfor inkluderes negative tal så ikke i Dm(f)?

Du har lavet en fejl. Det er fordi -2^1/2 = -(2^1/2) ≠ (-2)^1/2.

Sæt f(x) = bx^a. Hvis f.eks. x = -10 indsættes, skriver man f(-10) = b(-10)^a, ikke f(-10) = -b10^a.

            som ikke tilhører mængden af reelle tal
hvilket ikke er i overens(s)temmelse med

Tak begge to.

#0 Jeg kan umiddelbart ikke gennemskue, hvorfor definitionsmængden ikke inkluderer negative tal, hvis en potensfunktions eksponent ikke er heltallig?

Se evt. https://www.studieportalen.dk/forums/thread.aspx?id=1651830.

Jeg har omsider forstået min undren. Tak alle sammen.

#15 Ofte begrænses potensfunktioner til kun at gælde for b>0 og x≥ 0.

Dvs. funktionen f(x) = x^1/3, x ∈ R er ikke en potensfunktion, det er bare en funktion, hvis funktionsforskrift er den samme som potensfunktionen x^1/3, x ∈ R₊.

Tilsvarende er funktionen f(x) = x², x ∈ R ikke en potensfunktion, men derimod et andengradspolynomium.

Dog kan definitionen udvides til at gælde alle b og i visse tilfælde alle x. Se evt. http://www.gudmandsen.net/res/mat_vejl/potens.pdf.

Nu har jeg af interesse undersøgt det på Maple, og jeg kan forresten godt forstå, hvad der menes i #7, for det giver jo god mening, at  når  og n er negativ.

Men.. Mit problem er, at når jeg plotter funktionen   ind i Maple, burde den jo have  og ,

men Maple bruger kun positive værdier af x i grafen, hvilket undrer mig lidt... Det er jo tydeligt ved at indsætte f.eks.
 
at funktionen også har definitions- og værdimængde indenfor de negative reelle tal.

Jeg vedhæfter lige et billede fra min Maple.
...er det Maple, der er galt på den, eller har jeg gjort noget forkert?

#17 Igen er det nok forskelligt fra program til program. Her er det samme vist i TiNspire.

#18
Ja, det har du nok ret i. Googles graffunktion lavede også den rigtige graf for mig. Jeg synes bare, det er lidt sært, da Maple jo burde kunne finde ud af det. Jeg prøvede også at tage den tredje rod af -1 i Maple, hvilket resulterede i et noget besynderligt resultat bestående af komplekse tal.
Den fejlede også, da jeg testede relationen
 

Hm... Jeg håber da, at der er en måde at fikse det på, eller at Maple ændrer det i den nye version. 

 

#19

Min fornemmelse er, at definitionen af potensfunktioner mm. bygger på de standarder, der gælder for de forskellige CAS-værktøjer. Disse standarder er bare ikke helt ens.

I gamle dage så en eksponentialfunktion sådan her ud: f(x) = b·e^a·x, nu ser den sådan ud: f(x) = b·a^x. Det er sikkert et resultat af, at man har indført CAS.