Matematik

Omvendt funktion af eksponentialfunktion

30. juni 2016 af 23fdafsdgdsg (Slettet) - Niveau: B-niveau

Hej

Jeg ved, at eksponentialfunktionen med grundtallet 10 er omvendt funktion til titalslogaritmefunktionen (kaldes den det?). Altså:

f(x)=10^x

f^-^1(x)=log(x)

Men hvornår nu det, hvis man skal angive mellemregninger? Når jeg anvender logaritmeregneregler, får jeg følgende resultat:

y=10^x\rightarrow x=10^y\Leftrightarrow log(x)=y*log(10)\Leftrightarrow y=\frac{log(x)}{log(10)}

Men:

\frac{log(x)}{log(10)}\neq log(x)

Eller er det? log(10) er jo 1?


Brugbart svar (0)

Svar #1
30. juni 2016 af AskTheAfghan

Du har forstået det rigtigt. Det er altid godt at nævne hvad der menes med log, for det kan betyde andre ting i nogle litteraturer. På gymnasiet, definerer man log ved den inverse funktion til eksponentialfunktionen med grundtallet 10. Det betyder specielt, at log(10x) = x for alle x, og 10log(x) = x for alle x > 0. Derfor er log(10) = log(101) = 1.

Et eksempel: 2 = 10x+1. Tag log på hver side, så er log(2) = (x + 1) log(10). Løsningen er derfor x = log(2) - 1.


Brugbart svar (0)

Svar #2
30. juni 2016 af peter lind

Som du skriver det får du at den inverse til eksponentialfunktionen er en eksponentialfunktion og det passer jo ikke.

Der gælder y=10x <=>  log(y) = x


Svar #3
30. juni 2016 af 23fdafsdgdsg (Slettet)

Men hvordan forholder det sig så med at finde den inverse funktion til den naturlige eksponentialfunktion. Den opfylder:

f(x)=e^x

Bruger jeg da samme fremgangsmåde, får jeg:

y=e^x\rightarrow x=e^y\Leftrightarrow log(x)=y*log(e)\Leftrightarrow y=\frac{log(x)}{log(e)}

Og ifølge min bog må den inverse funktion opfylde:

f^-^1(x)=ln (x)

Hvad betyder ln overhovedet?


Brugbart svar (0)

Svar #4
30. juni 2016 af AskTheAfghan

ln defineres ved den inverse funktion til den naturlige eksponentialfunktion exp. Det betyder specielt, at ln(ex) = x for alle x, og eln(x) = x for alle x > 0. Man kalder ln for den naturlige logaritme. Definitionen for det er standard.


Brugbart svar (0)

Svar #5
01. juli 2016 af peter lind

Du gentager fejlen y=ex <=> ln(y) = x

Hvis du tager titalslogaritmen på y = ex får du log(y) = x*log(e)   = ln(y)*log(e) så de to logaritmefunktioner er proportionale.


Svar #6
01. juli 2016 af 23fdafsdgdsg (Slettet)

#2 Jeg er ikke helt med på, hvilken fejl du indikerer?


Brugbart svar (0)

Svar #7
01. juli 2016 af peter lind

Du skriver y = ex -> x = ey. hvilket er forkert Det rigtige er   x = ln(y)


Svar #8
01. juli 2016 af 23fdafsdgdsg (Slettet)

#7 Men jeg burde da kunne følge samme princip, som jeg gjorde først? :)


Brugbart svar (0)

Svar #9
01. juli 2016 af mathon

               f(x)=y=a^x\; \; \; \; \; a>0

               f^{-1}(y)=\log_a(a^x)=x\cdot \log_a(a)=x\cdot 1=x

specifikt for

               f(x)=y=e^x

               f^{-1}(y)=\mathbf{\color{Red} \log_e}(e^x)=x\cdot \mathbf{\color{Red} \ln}(e)=x\cdot 1=x


Brugbart svar (0)

Svar #10
01. juli 2016 af Eksperimentalfysikeren

Du har en uheldig skrivemåde i #1, nemlig y=10x → x=10y. Jeg ved ikke, hvad du mener med det.

Hvis vi ser bort fra det, der står foran pilen og pilen, er din udregning korrekt. Lidt efter angiver du at

\frac{log(x)}{log(10)}\neq log(x)

hvilket er forkert. Du glemmer, at for titalslogaritmen er log(10) = 1.

#8

Hvis du her med log mener ln, har du samme situation som i #0, blot med ln(e) = 1.

Hvis du derimod med log mener log10, har du her fundet frem til omregningen mellem de to logaritmer som nævnt i #5.

Betegnelsen log benyttes en del steder for forskellige logaritmer. En del steder er der titalslogaritmen, nogle steder er det totalslogaritmen og man ser også log for den naturlige logaritme. Desuden bruges log mere generelt for en logaritmefunktion, hvilket vil sige en funktion, der opfylder funktionalligningen log(ab) = log(a)+log(b).


Svar #11
01. juli 2016 af 23fdafsdgdsg (Slettet)

#10 Jeg har læst i min bog (HTX Mat B2), at man finder den inverse funktion til en given funktion ved at bytte om på x og y og derefter isolere y. Det er det, jeg gør i #1. Er det forkert? :)

Jeg konkluderer også i mit indlæg til sidst, at det vel må være korrekt, da log(10)=1.


Brugbart svar (0)

Svar #12
01. juli 2016 af peter lind

Du har misforstået hvad der står i din bog. Du skal ikke ombytte x og y. For at finde den inverse til en funktion skal du isolere x så du får at x = fº-1(y). Dermed har du fundet den inverse funktion. Normalt angiver man en funktion som en funktion af x. Hvis man vil have dette skal du omdøbe variablene.

Hvis du kender den inverse som i din opgave skal du bruge den inverse til at isolere x så du har at

x = fº-1(y) 

I din opgave er f(x) eksponentialfunktionen og den inverse til eksponentialfunktionen er logaritmefunktionen Det giver

y = ex og x = ln(y)

som nævnt i #10 er dine udregninger som står efter det uheldige x = 10y korrekte


Brugbart svar (0)

Svar #13
01. juli 2016 af Eksperimentalfysikeren

Jeg vil gerne vide ordret, hvad der står i bogen. Kan du skrive det her?


Svar #14
01. juli 2016 af 23fdafsdgdsg (Slettet)

Der står følgende (helt ordret):

Metode til at finde en omvendt funktion

Når vi skal finde en omvendt funktion, kan vi bruge følgende fremgangsmåde:

1. Byt rundt på x og y i funktionen.

2. Den omvendte funktionen findes ved at isolere y i det nye udtryk.

3. Kontrollér ved sammensætning, at de to funktioner er hinandens omvendte.


Svar #15
01. juli 2016 af 23fdafsdgdsg (Slettet)

Der er ydermere et eksempel i bogen, hvor fremgangsmåden anvendes - nøjagtig som jeg har gjort.


Brugbart svar (0)

Svar #16
01. juli 2016 af Eksperimentalfysikeren

Det er usædvanligt. Man plejer blot at isolere x:

2*. Den omvendte funktionen findes ved at isolere x i ligningen.

Det er ikke væsentligt, hvilke bogstaver, man bruger, men nogle menesker låser sig fast i, at x er den uafhængige variable og y den afhængige variable. For dem kan det være lettere at bytte x og y om.


Skriv et svar til: Omvendt funktion af eksponentialfunktion

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.