Matematik

trigonometriske ligninger HJÆLP!

29. august 2016 af 321bj (Slettet) - Niveau: A-niveau

Hej alle sammen.

jeg sidder med disse trigonometriske ligninger, som jeg har vedhæftet i et worddokument, og jeg er helt blank på, hvordan jeg skal løse dem. Intet giver mening. Det eneste jeg, er at de skal omskrives til kun at indeholde en funktionstype og en vinkelstørrelse, og de kan jeg benytte enten additionsformlerne eller formlerne for sammenhængen mellem en vinkel og den dobbelte vinkel til, men hvordan kan jeg se, hvordan jeg skal bære mig ad og hvilken formel jeg skal bruge til at omskrive ligningen?

Jeg håber virkelig I kan hjælpe mig/forklare mig, hvordan det skal gøres, og det må meget gerne skæres ud i pap.

Mvh

Vedhæftet fil: trig ligninger.doc

Brugbart svar (0)

Svar #1
29. august 2016 af mathon

1.
$\sin(2x)\cdot \cos(2x)=\frac{1}{2}\sin(4x)=0{,}4$

$\sin(4x)=0{,}8$

$\sin(4x)=\sin(4\cdot \left (x_o+\Delta x \right ))=0{,}8$

$\sin(4x)=\sin(\left 4x_o+4\Delta x \right )=0{,}8$ hvor $4\Delta x=p\cdot 2\pi\Rightarrow \Delta x=p\cdot \frac{\pi }{2} \; \; \; \; \; p\in \mathbb{Z}$

$\sin(4x)=\sin(\left 4x_o+4\Delta x \right )=0{,}8$

dvs
$\sin(4\cdot \left (x_o+p\cdot \tfrac{\pi }{2} \right ))=0{,}8$
som for p=0
har løsningerne:

$4x_o =\pi -4x_o =\sin^{-1}(0{,}8)=0{,}927295$
hvoraf
$x=\left\{\begin{matrix} 0{,}231824\\ 2{,}2143 \end{matrix}\right.\; \; \; \; \; p=0$

hvoraf som følge af periodiciteten

$x=\left\{\begin{matrix} 0{,}231824+p\cdot \tfrac{\pi }{2}\\ 2{,}2143 +p\cdot \tfrac{\pi }{2}\end{matrix}\right.$ $p\in \mathbb{Z}$

Brugbart svar (0)

Svar #2
29. august 2016 af mathon

2a)
$\cos(x)+\sin(2x)=0$

$\cos(x)+2\sin(x)\cos(x)=0$

$\left (1+2\sin(x) \right )\cos(x)=0$

dvs
$\cos(x)=0$ $\cos(x)=0 \; \vee\; 1+2\sin(x)=0$

$x=\left\{\begin{matrix} \frac{\pi }{2}+p\cdot \pi \\ 3{,}66519+p\cdot 2\pi \\ 5{,}75959+p\cdot 2\pi \end{matrix}\right.$ $p\in\mathbb {Z}$

Svar #3
29. august 2016 af 321bj (Slettet)

men hvilke af additionsformlerne eller formler for sammenhæng mel. vinkel og den dobbelte vinkel er det der er brugt?

Brugbart svar (0)

Svar #4
29. august 2016 af mathon

i 1) er anvendt:
$\sin(t)\cdot \cos(s)=\frac{1}{2}\left ( \sin(t+s)+\sin(t-s) \right )$
som specofikt for t=s=2x
giver:
$\sin(2x)\cdot \cos(2x)=\frac{1}{2}\left ( \sin(4x)+\sin(0) \right )$

$\sin(2x)\cdot \cos(2x)=\frac{1}{2} \sin(4x)$

…
i 2a) er anvendt:
$\sin(2x)=2\sin(x)\cos(x)$

Brugbart svar (0)

Svar #5
29. august 2016 af mathon

2b)
$2\sin(2x)-3\sin(x)=0$

$4\sin(x)\cos(x)-3\sin(x)=0$

$\left (4\cos(x)-3 \right )\sin(x)=0$
dvs
$\sin(x)=0\; \vee\; \cos(x) =\tfrac{3}{4}$

$x=\left\{\begin{matrix} p\cdot \pi \\ 0{,}722734+p\cdot 2\pi \\5{,}56045 +p\cdot 2\pi \end{matrix}\right.$ $p\in \mathbb{Z}$

Brugbart svar (0)

Svar #6
29. august 2016 af mathon

3a)
$5\cos^2(x)-\sin(x)=4$

$5\left (1-\sin^2(x) \right )-\sin(x)=4$

$5\sin^2(x)+\sin(x) -1=0$

$\sin(x)=\left\{\begin{matrix} -0{,}558258\\ 0{,}358258 \end{matrix}\right.$

$x=\left\{\begin{matrix} 0{,}366401+p\cdot 2\pi \\ 2{,}77519+p\cdot 2\pi \\ 3{,}73388+p\cdot 2\pi \\ 5{,}69090+p\cdot 2\pi \end{matrix}\right.$

Brugbart svar (0)

Svar #7
29. august 2016 af mathon

3b)
$2\sin(x)-\cos^2(x)=0$

$2\sin(x)-\left (1-\sin^2(x) \right )=0$

$\sin^2(x) +2\sin(x)-1=0$

$\sin(x)=-1+\sqrt{2}=0{,}414214$

$x=\left\{\begin{matrix} 0{,}427079+p\cdot \pi\\ 2{,}714514+p\cdot \pi \end{matrix}\right.$ $p\in \mathbb{Z}$

Brugbart svar (0)

Svar #8
29. august 2016 af mathon

Benyt i 4
omskrivningen:

$a\cos(x)+b\sin(x)=\sqrt{a^2+b^2}\cdot \cos\left ( x-\beta \right )\; \; \; \; \; \; \beta =\tan^{-1}\left ( \tfrac{b}{a} \right )$

samt
$\cos(x)=\cos(2\pi -x)$

Svar #9
29. august 2016 af 321bj (Slettet)

kan det forklares med tekst hvad det helt akkurat er for en formel der bruges og hvorfor?

Brugbart svar (0)

Svar #10
29. august 2016 af mathon

#9
spørges der til omskrivningen
$a\cos(x)+b\sin(x)=\sqrt{a^2+b^2}\cdot \cos\left ( x-\beta \right )\; \; \; \; \; \; \beta =\tan^{-1}\left ( \tfrac{b}{a} \right )?$

Brugbart svar (0)

Svar #11
29. august 2016 af mathon

Der gælder bl.a.
$\sin(x)=\sin(\pi -x)$ 2 løsninger for $x\in \left [ 0;2\pi \right ]$
$\cos(x)=\sin(2\pi -x)$ 2 løsninger for $x\in \left [ 0;2\pi \right ]$

Svar #12
29. august 2016 af 321bj (Slettet)

okay

Brugbart svar (0)

Svar #13
30. august 2016 af mathon

korrektion:
Der gælder bl.a.
$\sin(x)=\sin(\pi -x)$ 2 løsninger for $x\in \left [ 0;2\pi \right ]$
$\cos(x)=\cos(2\pi -x)$ 2 løsninger for $x\in \left [ 0;2\pi \right ]$

Brugbart svar (0)

Svar #14
30. august 2016 af mathon

4a)
                          $14\cos(x)+9\sin(x)=0$            som omskrives til
                          $\sqrt{14^2+9^2}\cdot \cos\left ( x-\beta \right )=0$
   hvoraf
                          $x-\beta =\frac{\pi }{2}+p\cdot \pi$

$x =\left (\frac{\pi }{2}+\beta \right ) +p\cdot \pi$

$x =\left (\frac{\pi }{2}+\tan^{-1} \left ( \frac{9}{14} \right )\right ) +p\cdot \pi$

$x =2{,}14213 +p\cdot \pi$

Brugbart svar (0)

Svar #15
30. august 2016 af mathon

4b)
                          $-5{,}4\cos(x)+2{,}2\sin(x)=0$            som omskrives til
                          $\sqrt{(-5{,}4)^2+2{,}2^2}\cdot \cos\left ( x-\beta \right )=0$
   hvoraf
                          $x-\beta =\frac{\pi }{2}+p\cdot \pi$

$x =\left (\frac{\pi }{2}+\beta \right ) +p\cdot \pi$

$x =\left (\frac{\pi }{2}+\tan^{-1} \left ( \frac{2{,}2}{-5{,}4} \right )\right ) +p\cdot \pi$

$x =1{,}18392 +p\cdot \pi$

Brugbart svar (0)

Svar #16
30. august 2016 af mathon

I alle opgaver gælder
$p\in\mathbb{Z}$
selv om det i ovenstående er glemt flere steder.

Brugbart svar (0)

Svar #17
30. august 2016 af mathon

vedrørende #8
omskrivningen i detaljer:

Vedhæftet fil:omskrivning_af_acos(x)+bsin(x)-2.doc

Svar #18
30. august 2016 af 321bj (Slettet)

tusind tak for hjælpen :)

Skriv et svar til: trigonometriske ligninger HJÆLP!

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.