Matematik

Approximation

24. september 2016 af Rossa - Niveau: Universitet/Videregående

Hej derude. Jeg har lige regnet en opgave, men jeg er helt fovirret over på konklusionen?
Vil nogen hjælpe med at forstå konklusionen?

Opgaven lyder:
For small values of x, how good is the approximation cos(x)≈1. How small must x be to have $\frac{1}{2}*10^{-8}$ accuracy?

Her opstiller jeg en ligning som:

$|\frac{1}{2}*10^{-8} \geq |1-cos(x)|$

Her kigger jeg på den nederste grænse, altså får jeg

$1-cos(x) \geq - \frac{1}{2}*10^{-8}$ HVOR $x \geq \arccos(1+ \frac{1}{2}*10^{-8})$

Her er problemet, at $\arccos(1+ \frac{1}{2}*10^{-8})$ ikke er defineret.
For den øverste grænse får jeg $x \leq \arccos(1- \frac{1}{2}*10^{-8})$

Spørgsmålet er? I hvilken interval ligger x, og er det en god approximation?
(Problemet er, at for x>1, er arccos(x) ikke defineret)

På forhånd tak

Brugbart svar (1)

Svar #1
24. september 2016 af peter lind

Hvis du vil bruge den grænse skal x erstattes af numerisk værdi og du skal levere et konkret tal altså slå den aktuelle værdi af arccos op.

Der er i opgaven nok snarere tænkt på at du skal bruge Taylorrækken for cosinus. Til 2. orden får du cos(x) ≈ ½x²

Svar #2
24. september 2016 af Rossa

For den øverste grænse virkel ligningen godt, men ikke for den nederste grænse.
Mener du, at jeg skulle beholde ligningen for den øverste grænse?

Mener du også, at for den nederste grænse Taylorrækken for cosinus til orden 2, og dermed skal jeg substituere cos(x) med (1/2)* x² ?

Svar #3
24. september 2016 af Rossa

Tak for hjælpen, opgaven er løst nu.

Brugbart svar (0)

Svar #4
24. september 2016 af jantand

Du skal finde ud af hvor lille vinklen skal være for forskellen bliver mindre end 0,5*10^-8

Altså hvor lille x skal være for at forskellen mellem 1 og cos(x) er mindre end 0,5*10^-8

Hvornår er cos(x) = 1-(0,5*10^-8)

x= 0.0057295...... og 2pi-x ( jeg har ikke noget pi på mit tastatur)

Altså skal x være mindre end dette tal.

Tegn det i et koordinatsystem så kan du se det. Der kommer en afvigelse når der laves afrundinger!!!

Svar #5
24. september 2016 af Rossa

Jeg troede, at jeg havde løst opgaven, det har jeg ikke da taylor rækken i 2. orden er ikke (1/2) *x² som Peter lind skriver.

Brugbart svar (0)

Svar #6
24. september 2016 af peter lind

Du har ret. Den er 1-½x². Undskyld

Skriv et svar til: Approximation

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.