rødder

Tag determinanten af matrixen. Dette giver dig et faktoriseret tredjegradspolynomium, hvori du direkte kan aflæse rødderne. 

jamen så får jeg det(A)=(2-a)(3-a)(4-a) 

det må betyde at r1= 2,  r2=3,  og r3=4 ?

Men hvordan kan det være at man kan læse rødderne ud fra det(A)??? 

Opgaven lyder på, at du skal finde rødderne i "determinant-polynomiummet". Du finder sådanne polynomier ved at tage determinanten af din matrix, og i den her opgave har det så simpel en form, at du direkte kan aflæse rødderne ud af faktoriseringen. Generelt er det ikke tilfældet idet du vil få andre bidrag til determinanten, så polynomiet ikke umiddelbart kan faktoriseres. 

men det jeg skrev er korrekt?

Ja.

hvilke egenskaber har determinant polynomiet, jeg mener hvorfor er det overhovedet interessant at finde sådanne rødder?

Der er en del steder, hvor det er interessant. Der findes en del situationer, hvar man har en vektorafbildning, som kan skrives , hvor T er en matrix og x og y er vektorer i samme rum. Her der der nogle vektorer, der er særligt interessante, nemlig dem, hvor y er proportional med x: .

Trækker man λx fra på begge sider af lighedstegnet, sætter x udenfor en parentes, og ganger λ med en enhedsmatirx, får man: . De to matricer kan så samles til den form du har i opgaven. De rødder, du har fundet siges at være egenværdier til T og de værdier af x, der tilfredsstiller ligningen, kaldes egenvektorer til T.

Egenværdier benyttes en del i fysikken, bla.a. i kvatemekanikken.

Rødderne i determinantpolynomiet, også kaldet det karakteristiske polynomium, kaldes egenværdier (eigenvalues) og angiver blandt andet, om der findes egenvektorer til matrixen, altså om der findes vektorer  der løser problemet

,

hvor A er en matrix of  er en skalar. Egen-værdier og -vektorer spiller en stor rolle i lineær algebra, og du kan nemt finde mere information om dem med en hurtig google search.