Matematik

tangent til cirklen med radius 5 i punktet P(3,-2).

26. september 2016 af DK9000 - Niveau: A-niveau

Hejsa

Håber nogle vil hjælpe mig her, da jeg har grublet over det her siden igår. Jeg har lavet opgave a) men kan simpelthent ikke komme forbi opgave b.

Nogen bud ???

Den rette linje m: 4x+3y-6=0 skal være tangent til cirklen med radius 5 i punktet P(3,-2)

a) Vis at P ligger på linjen

b)Bestem ligningen for cirklen der har linjen m som tangent.(der er 2 løsninger)


Brugbart svar (1)

Svar #1
26. september 2016 af StoreNord

a)  Kan du nok selv løse.

b)  En linje igennem P vinkelret på m har en hældning, der er         "minus hældningen"    af m.

Og så er centrene 5 cm ude til hver side.

--- 

Hvis du i m sætter x=0, får du skæringen med y-aksen.

Hvis du i m sætter y=0, får du skæringen med x-aksen.

Så kan du lave en vektor fra (0,2) til P. Og ja, en tværvektor på 5 cm.  Til hver side.


Svar #2
26. september 2016 af DK9000

b)  En linje igennem P vinkelret på m har en hældning, der er         "minus hældningen"    af m.

Og så er centrene 5 cm ude til hver side.

Forstår ikke helt hvad der menes? Skal jeg finde en tværvektor ? også trække dens hældning fra m ?


Brugbart svar (1)

Svar #3
26. september 2016 af mathon

                                     c_1\! \! :\; \; (x+1)^2+(y+5)^2=5^2

                                     c_2\! \! :\; \; (x-7)^2+(y-1)^2=5^2


Svar #4
26. september 2016 af DK9000

#3

                                     c_1\! \! :\; \; (x+1)^2+(y+5)^2=5^2

                                     c_2\! \! :\; \; (x-7)^2+(y-1)^2=5^2

Og hvordan kom du dertil ? :) 


Brugbart svar (1)

Svar #5
26. september 2016 af mathon

Én cirkelligning
er:
                        (x-a)^2+(y-b)^2=5^2
har i røringpunktet P(3,-2)

tangentligningen:
                                  (3-a)(x-a)+(-2-b)(y-b)=5^2
med normalvektor

                                  \begin{pmatrix} 3-a\\-2-b \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 4\\3 \end{pmatrix}
hvoraf
                                   a=-1
                                   b=-5

dvs cirkelligningen:

                        (x+1)^2+(y+5)^2=5^2

Indtegnes ovenstående i et koordinatsystem,
ses det, at centrum for ovenstående cirkel spejlet i tangenten 
har centrum, der opfylder:

                                           \overrightarrow{OC_2}=\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{C_1P}

                                           \overrightarrow{OC_2}=\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OC_1}

                                           \overrightarrow{OC_2}=2\cdot \overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OC_1}

                                           \overrightarrow{OC_2}=\begin{pmatrix} 6\\-4 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} -1\\-5 \end{pmatrix}

                                           \overrightarrow{OC_2}=\begin{pmatrix} 7\\1 \end{pmatrix}

Et punkt har samme koordinater som sin stedvektor:

                                           C_2(7,1)

Den i tangenten spejlede cirkel har
derfor ligningen:
                                     c_2\! \! :\; \; (x-7)^2+(y-1)^2=5^2


                                                


Brugbart svar (0)

Svar #6
29. september 2016 af mathon

eller 
           tangentens normalvektor

                                                         \overrightarrow{n}=\begin{pmatrix} 4\\3 \end{pmatrix}  og  \left | \overrightarrow{n} \right |=\sqrt{4^2+3^2}=5

           og C er cirkelcentrum:
                  
               \overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OP}\mp \frac{\overrightarrow{n}}{\left | \overrightarrow{n} \right |}\cdot 5

               \overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OP}\mp \frac{5}{\left | \overrightarrow{n} \right |}\cdot\overrightarrow{n}

               \overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OP}\mp \frac{5}{5}\cdot\overrightarrow{n}

               \overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OP}\mp\overrightarrow{n}

               \overrightarrow{OC}=\begin{pmatrix} 3\\-2 \end{pmatrix}\mp\begin{pmatrix} 4\\3 \end{pmatrix}

               \overrightarrow{OC}=\left\{\begin{matrix} \begin{pmatrix} -1\\-5 \end{pmatrix}\\ \begin{pmatrix} 7\\1 \end{pmatrix} \end{matrix}\right.

Et punkt har samme koordinater som sin stedvektor,
hvoraf:

       C_1=(-1,-5)
       C_2=(7,1)

med tilhørende
cirkelligninger:

                                     c_1\! \! :\; \; (x+1)^2+(y+5)^2=5^2

                                     c_2\! \! :\; \; (x-7)^2+(y-1)^2=5^2


Skriv et svar til: tangent til cirklen med radius 5 i punktet P(3,-2).

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.