Matematik

Hvorfor? Grænse

27. september 2016 af lokpæø (Slettet) - Niveau: A-niveau

Hej, grænseværdien for følgende for jeg til at give ∞ i Maple, men hvordan?

$\lim_{x\rightarrow 3^+}\frac{1}{x^2-5x+6}$

Dette skulle gerne give ∞ i Maple. Jeg tænkte at det skulle give 0, fordi nævneren bliver meget stor, hvilket gør brøken lille så det kommer tæt på 0. Tager jeg fejl? Kan en venlig, dygtig sjæl forklare mig hvor det skal give uendelig?

Brugbart svar (1)

Svar #1
27. september 2016 af peter lind

x²-5x+6 = (x-2)(x-3) -> 0 for x->3⁺

Svar #2
28. september 2016 af lokpæø (Slettet)

Jeg forstår det ikke helt. Kan du forklare det. Hvis nævneren går mod 0, så er der vel ingen grænseværdi idet man ikke kan dele med 0

Brugbart svar (0)

Svar #3
28. september 2016 af VandalS

Funktioner kan godt have grænseværdier i punkter, hvor de ellers er udefineret. Det er derfor det er en grænseværdi og ikke bare en funktionsværdi. I dit eksempel ovenfor går nævneren mod nul ovenfra, hvorfor hele brøken går mod $\infty$ da tælleren er fast.

Svar #4
28. september 2016 af lokpæø (Slettet)

Men hvis nævneren går mod 0, hvorfor går hele brøken så mod uendelig?

Brugbart svar (0)

Svar #5
28. september 2016 af VandalS

Du dividerer med et tal, der bliver mindre og mindre:

$\dfrac{1}{0.1}=10$ , $\dfrac{1}{0.01}=100$ , $\dfrac{1}{0.001}=1000$

etc.

Svar #6
28. september 2016 af lokpæø (Slettet)

Arhh, nu er jeg med.
Kan jeg skrive det således:

$\lim_{x\rightarrow 3^+}\frac{1}{x^2-5x+6}=\lim_{x\rightarrow 3^+}\frac{1}{3^2-3x+6}=\lim_{x\rightarrow 3^+}\frac{1}{0}=\infty$

Svar #7
28. september 2016 af lokpæø (Slettet)

Eller skal jeg skrive nævneren som (x-2)(x-3)?

Svar #8
28. september 2016 af lokpæø (Slettet)

Eller er der ikke en ande måde hvor jeg kan skrive det på på uden at skrive 1/0? :)

Brugbart svar (0)

Svar #9
28. september 2016 af VandalS

Du kan skrive

$\lim_{x\to3^+}\frac{1}{x^2-5x+6}=\infty$

Når du tager grænseværdier indsætter du ikke tal på variablens plads, for du må under ingen omstændigheder skrive

$\frac{1}{0}$

Svar #10
28. september 2016 af lokpæø (Slettet)

Mange tak for svaret. Kan jeg ikke skrive, så jeg i princippet ikke deler med "0" eller det forkert notationsmæssigt?

$\lim_{x\rightarrow 3^+}\frac{1}{x^2-5x+6}==\lim_{x\rightarrow 3^+}\frac{1}{0^+}=\infty$

Svar #11
28. september 2016 af lokpæø (Slettet)

I dette eksempel omskriver de brøken så man ikke deler med 0, kan man ikke gøre det samme her eller er det for vanskeligt?
Skærmbillede 2016-09-28 kl. 01.15.26.png

Vedhæftet fil:Skærmbillede 2016-09-28 kl. 01.15.26.png

Svar #12
28. september 2016 af lokpæø (Slettet)

En anden ting jeg tænkte på er om grænseværdien ikke er +∞.

Brugbart svar (0)

Svar #13
28. september 2016 af Eksperimentalfysikeren

#12 Det er korrekt. Funktionen g(x) = 1/x har to grænseværdier for x → 0. Hvis x er positiv, er g(x) positiv. Hvis x er negativ er g(x) det også. Derfor har man:

g(x) → ∞+ for x → 0+ og g(x) → ∞- for x → 0-.

Funktionen h(x) = x/x har værdien 1 for alle x undtagen x=0. Den har grænseværdien 1 for x gående mod en vilkårlig værdi inklusiv 0.

Brugbart svar (0)

Svar #14
28. september 2016 af Capion1

Skrivemåden, med lighedstegn

$\lim_{x\rightarrow 0^{+}}\frac{1}{x}=\infty$

er ikke god, men er desværre ofte brugt.
Man bør i forbindelse med grænseværdier $\pm \infty$ anvende

$\frac{1}{x}\rightarrow \infty \: \: \textup{for}\: x\rightarrow 0^{+}$

Svar #15
28. september 2016 af lokpæø (Slettet)

Skal jeg så skrive at,
$\lim_{x\rightarrow 3^+}\frac{1}{x^2-5x+6}=+\infty$

Brugbart svar (0)

Svar #16
28. september 2016 af Capion1

# 15
Skrivemåden er ikke forkert og er officielt godkendt. Det er mere et spørgsmål om, hvad man synes at foretrække.
Der behøver ikke plustegn foran uendelighedstegnet. Plus er altid underforstået, når der ikke står noget.
# 15 er OK, men fjern plus.

Svar #17
28. september 2016 af lokpæø (Slettet)

#16
Capion1

Det gælder, at x≠3 idet man ikke må dele med 0. Ved du om der er andre måder at skrive nævneren på i $f(x)=\frac{1}{x^2-5x+6}$ , så man ikke kommer til at dele med 0 mht. grænseværdien? Lidt ligesom de har gjort nedeunder?

Skærmbillede 2016-09-28 kl. 01.15.26.png

Brugbart svar (0)

Svar #18
28. september 2016 af Therk

Det er ikke god skik at bruge limes i mellemregninger. Vi er interesserede i en omskrivning af udtrykket til det kommer på en form, hvor vi er overbeviste om hvad grænseværdien er; men med limes har vi lov til at ændre udtrykket, der tages limes af, så vi kan tage noget helt andet! Fx hvis vi skal undersøge grænseværdien af $\inline (x^2+x)^{-1}$

$\lim_{x\to 0^+} \frac {1}{x^2+x} =\lim_{x\to0^+}\frac 1{x^3}= \infty$

men med heroverstående har vi ikke lært noget af det første udtryk og vi kan snydes til at tro at de to udtryk opfører sig ens i grænsen, hvilket er forkert! En mere beskrivende og udførlig fremgangsmåde er eksempelvis

$\frac {1}{x^2+x} =\frac 1x \cdot \frac 1{x +1}\to \infty \cdot \frac1{0+1} = \infty, \quad x\to 0^+$

$\rule{7cm}{0.4pt}$

Du har fx ikke, med dine nuværende mellemregninger, bevist mig om at grænseværdien er plus uendelig. Se fx Peter Linds omskrivning, i #1, som gør det meget nemmere at se fortegn på grænseværdien.

Jeg vil foreslå følgende, hvor fortegn fremgår lidt mere tydeligt.

$\frac{1}{x^2-5x+6} = \frac{1}{x-3}\cdot \frac1{x-2} \to \infty \cdot \frac 1{3-2} = \infty , \quad x\to 3^+$

Svar #19
28. september 2016 af lokpæø (Slettet)

#18 Mange tak Therk! :)

Skriv et svar til: Hvorfor? Grænse

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.