Hvordan beviser man det?

#0. Jeg antager, at C er centrum i den store cirkel og at AB er en diameter i den lille cirkel?!

Opgave:

¹⁾    Du skal vise en elementær sætning fra geometrien:
      En periferivinkels gradtal er halvdelen af gradtallet for den bue, vinklen spænder over.
      Periferivinklen er C , og buen er BA (mod uret), som er 180º. 

Der er ikke opgivet tilstrækkeligt til beviset. Det ser ud som om AB er diameter i den lille cirkel, men der er ikke oplysninger, der undebygger det. AB kan være en korde, der ligger tæt ved en diameter. I så fald er vinkel C IKKE ret. Dette er uafhængigt af, om C er centrum i den store cirkel.

#0. Areal-beviset: 

1) Man starter med at vise, at arealet af den lille cirkel er halvdelen af arealet af den store cirkel.
2) Man viser dernæst, at arealet af det store cirkelafsnit mellem A og B er lig med summen af de to små cirkelafsnit mellem A og C henholdsvis C og B.
3) Dette bruges til at vise, at de to skraverede områder har samme areal, da de lagt til lagt til hver deres cirkelafsnit skal give halvdelen af den lille cirkels areal.

Ad 1) Radius i den store cirkel kaldes R, hvor R = |AC|. Radius i den lille cirkel kaldes r, r = halvdelen af |AB|. AB er grundlinjen (og hypotenusen) i en retvinklet ligebenet trekant, hvor benenes længde er R. Dvs. idet r er halvdelen af hypotenusen i denne trekant må r være (1/2)·√(R² + R²) = (1/√2)·R. Dermed gælder, at areal af stor cirkel = π·R². Areal af lille cirkel = π·[(1/√2)·R]² = (1/2)·π·R². Det ses heraf, at arealet af den lille cirkel er halvdelen af den store.

Ad 2) Korden AB i den store cirkel spænder over en vinkel på 90º i den store cirkel. Korderne AC og CB i den lille cirkel spænder hver over en vinkel på 90º i den lille cirkel. Arealerne af to cirkelafsnit, der udspændes af samme centervinkel, i to forskellige cirkler forholder sig til hinanden som arealerne af de to cirkler. Dvs. at cirkelafsnittet mellem A og B i den store cirkel er dobbelt så stort som hver af cikleafsnittene mellem AC og CB i den lille cirkel. Dermed er dets areal lig med summen af de to andre.

Ad 3) Det måneformede skraverede område og det store cirkelafsnit udgør til sammen halvdelen af den lille cirkel. Den skraverede trekant og de to små cirkelafsnit udgør den anden halvdel. Dermed er arealet af den skraverede måne + arealet af det store cirkelafsnit = arealet af den skraverede trekant + arealerne af de små cirkelafsnit. Da arealet af det store cirkelafsnit = summen af arealerne af de små cirkelafsnit, trækkes arealerne af cirkelafnittene ud af ligningen og man får, at arealet af de to skraverede områder er lig med hinanden, hvilket skulle bevises.

#4 Hvor har du fra, at r = halvdelen af AB? Jeg kan ikke finde noget sted i opgaven, hvor der står, at AB er en diameter, eller der står noget andet, der underbygger det.

#0. Har du ikke andre oplysninger om opgaven?

# 2 er under samme antagelse som bemærkningen til den vedhæftede figur i # 1.
Det havde rigtignok været fyldestgørende for opgaven, om de geometriske forhold havde været præcist angivet i teksten.

Men er det det rigtige at gøre. Burde man ikke sende opgaven retur til den oprindelige opgavestiller med en bemærkning om, at den ikke kan løses ud fra de oplysninger, der er i den. Jeg mener, det er farligt at vænne sig til at gætte på noget, der ikke er opgivet i opgaven.

Er enig i betragtningen. Opgavestillere, og selvfølgelig alle brugere, skal ved opgavelæsningen være kritisk overfor den stillede opgave både hvad angår mangelfuldhed af facts til løsning af opgaven men også kritisk overfor facts, som egentlig ikke kommer i betragtning ved opgaveløsningen.
Jeg er villig til, med hammeren, i opgaven her, at lade nåde gå for ret. 

.

Pythagoras’ læresætning kan udvides, idet der for alle ligedannede figurer, som tegnes over kateterne og hypotenusen i en retvinklet trekant, gælder, at summen af arealerne af figurerne over kateterne er lig med arealet af figuren over hypotenusen. Undersøg, om dette også gælder for halvcirkler, hvor den retvinklede trekants tre sider udgør halvcirklernes respektive diametre. På figur 3 er der tegnet to cirkler. C er centrum for den største af cirklerne, og AB er diameter i den lille cirkel, der går gennem C. 

Det er hvad der ellers står i opgaven :P

I den normale visualisering af Pythagoras tegnes der kvadrater, hvis kanter er siderne af trekanten. Sætningen siger, at kvadratet med hypotenusen som side (kvadratet tegnet over hypotenusen) har et areal, der er summen af arealerne af de to andre kvadrater.

Hvis en figur skaleres, så alle længder skaleres med faktoren k, vil arealet skaleres med faktoren k².

De to cirkelbuer tegnet over kateterne svarer centervinkler, der er det dobbelte af de tilhørende periferivinkler, som i tilfældet med den ligebenede retvinklede trekant er 45 grader, så centervinklerne er 90 grader hver, hvilket stemmer med, at trekantens tredie side er en diameter, der svarer til 180 grader.

Da C er centrum for den store cirkel, er den centervinkel for buen over hypotenusen. De tre trekantsider og de tilhørende buer danner derfor ligedannede figurer. De kan derfor bruges i den udvidede Pythagoras.

Derfra skulle det være muligt at finde frem til resten af beviset.