Matematik

Geometri og lineære ligningssystemer

10. oktober 2016 af Ageless127 (Slettet) - Niveau: Universitet/Videregående

Hej. Jeg har fået opgivet følgende fire planer i rummet:

a1 : x + a y + a^2 z = a^3

a2 : a y + (a - a^2) z = 0

a3 : -x - a^2 z = -a

a4 : x + 2 a y + a z = a

Og knokler med spørgsmålet: "Find den værdi af a for hvilken de fire planer har netop ét fælles punkt, og angiv punktet."

Ved ikke rigtigt, hvordan jeg skal gribe den an. Har prøvet med nogle determinanter, men det gjorde det ikke bedre. Nogen idéer?


Brugbart svar (0)

Svar #1
10. oktober 2016 af peter lind

Læg ligningerne a1 og 13 sammen. Det giver en ligning til bestemmelse af ay

Træk derefter a1 fra a4 og indsæt den fundne værdi af ay i resultatet Det giver en simpel ligning i az

Sæt derefter den fundne værdi ind i a3. Det giver en ligning til bestemmelse af x


Brugbart svar (0)

Svar #2
10. oktober 2016 af VandalS

Hvis der skal være fælles punkter for de fire planer er det ensbetydende med at ligningsystemet

A \cdot [x,y,z]^T = b,

har løsninger. A er den 4x3 matrix med koefficienterne til xy, og z og b er højresiden. Hvis den 4x4 totalmatrix T=[A|b] har fuld rang er systemet inkonsistent og har ingen løsninger. Du kan udregne determinanten af T og finde ud af for hvilke værdier af a systemet er singulært. En af disse værdier for a giver en entydig løsning på det originale problem og vil være dit svar. 


Svar #3
10. oktober 2016 af Ageless127 (Slettet)

Jeg tænkte nemlig at løse ligningen det(T)=0, men at beregne determinanten for en 4x4-matrix er virkelig langhåret at gøre i hånden.


Brugbart svar (0)

Svar #4
10. oktober 2016 af VandalS

Hvis du er bekendt med determinantformlen for 3x3 matricer kan du slippe med at beregne determinanterne af 4 3x3 snitmatricer og derefter bruge regnereglerne for determinanter for at få determinanten af din 4x4 matrix. 


Svar #5
12. oktober 2016 af Ageless127 (Slettet)

Har beregnet determinanten af 4 3x3 snitmatricer, men hvad gør jeg så derefter?


Brugbart svar (0)

Svar #6
12. oktober 2016 af VandalS

Se f.eks. https://www.youtube.com/watch?v=H9BWRYJNIv4&feature=youtu.be&t=9m19s for en gennemgang.


Svar #7
12. oktober 2016 af Ageless127 (Slettet)

Jeg har prøvet at lave en trekantsmatrice med kun nuller under diagonalen, hvor jeg også har benyttet mig af determinant regnereglerne og beregnet determinanten til:

8a(a^2-a)(-2a^3+2a)

Den har jeg sat = 0 og fundet løsningerne -1, 0 og 1. De har jeg sat ind i totalmatricen og fundet frem til at -1 er en løsning til ligningssystemet, som giver punktet (-1, 0, 0)


Brugbart svar (0)

Svar #8
20. oktober 2016 af FredStone (Slettet)

Ageless127, jeg har lig prøvet at løse totalmatricen med -1 og det virker ikke hos mig

kan  jeg evt se dine beregninger?


Brugbart svar (0)

Svar #9
20. oktober 2016 af FredStone (Slettet)

og hvordan kommer du fra matricen til et punkt?


Brugbart svar (0)

Svar #10
20. oktober 2016 af VandalS

#8 Det skal virke. Du har måske en fortegnsfejl?

#9 Indsæt a's værdi og løs det fremkomne ligningssystem.


Svar #11
20. oktober 2016 af Ageless127 (Slettet)

Jeg kan forresten se at min determinant var beregnet forkert og er rent faktisk -a^6+a^5+a^4-a^3


Brugbart svar (0)

Svar #12
20. oktober 2016 af travian1 (Slettet)

Hvordan opstiller i totalmatrixen?


Brugbart svar (0)

Svar #13
20. oktober 2016 af Soeffi

#0. Jeg får følgende i Ti-Nspire:


Brugbart svar (0)

Svar #14
21. oktober 2016 af travian1 (Slettet)

Hvordan kommer du fra matrixen til punktet -1. Er noget frem til at a enten skal være 0,1 eller -1??


Brugbart svar (0)

Svar #15
21. oktober 2016 af Soeffi

#13. Det samme vist med Geogebra. For a = -1 er der et fælles skæringspunkt for alle planer. For a = 0 falder planerne sammen på nær a2, som ikke er defineret. For a = 1 har alle planer en linje til fælles.


Brugbart svar (0)

Svar #16
22. oktober 2016 af Eksperimentalfysikeren

#0: Hvis du adderer ligning 1 og 2, får du en ligning, hvis venstre side er identisk med venstresiden i ligning 4. Højresiderne, der er a og a3, skal derfor også være lige store, hvorfor a kun kan være -1, 0 eller 1.

For disse tre værdier kan den sidste ligning udelades og de tre andre ligninger kan løses på sædvalig vis.


Skriv et svar til: Geometri og lineære ligningssystemer

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.