Matematik

Cirklen og linje skærringspunkt

19. oktober 2016 af snilo (Slettet) - Niveau: A-niveau

Hej, jeg har brug for hjælp til følgende opgave: 

En cirkel har centrum i -3,4 og radius r=5

Bestem en ligning for cirklen, hvilket jeg har fået til 25 = (x-(-3))2+(y-4)2

Dernæst skal jeg gøre rede for, at punktet P = (-7,1) ligger på cirklens periferi, hvilket jeg har gjort ved at indsætte punktet i cirklens ligning, og det passer. 

Opgaverne som volder mig problemer er disse:

Linjen l: 2x-5y=4

C) Bestem koordinaterne til skæringspunkter mellem linjen og cirklen. 

Her tænker jeg, at man islolere y og insætter det i cirklens ligning, som så løses som en andengradsligning, men jeg kan ikke få det til at gå op. Jeg har også prøvet at tegne det grafisk, og her så det heller ikke ud til, at linjen skærer. 

D) Bestem en parameterfremstilling for tangenten til cirklen i punktet P. 


Brugbart svar (0)

Svar #1
19. oktober 2016 af jantand

Linjen har positiv hældning og skærer cirklen nede i bunden.


Svar #2
19. oktober 2016 af snilo (Slettet)

Hvordan er du kommet frem til det?


Brugbart svar (1)

Svar #3
19. oktober 2016 af jantand

Du har helt ret Linjen er helt udenfor cirklen. Undskyld.

Har du skrevet ligningen for linjen rigtigt. Der plejer at være løsninger i den slags opaver


Brugbart svar (1)

Svar #4
19. oktober 2016 af Capion1

C)      Linje og cirkel har ingen fælles punkter. Det kan vi se ved at bringe linjens ligning på normalform og heri indsætte cirklens centrum. Afstand, linje til centrum > radius og kan derfor ikke have punkter tilfælles.


Svar #5
19. oktober 2016 af snilo (Slettet)

Ja, jeg har skrevet ligningen rigtigt. Jeg kan nemlig heller ikke få det til at passe. Det må være en fejl fra lærerens side så. Kan opgave D så heller ikke løses?


Brugbart svar (1)

Svar #6
19. oktober 2016 af jantand

Jo det kan løses , fordi det er et punkt på cirklen

Brugbart svar (1)

Svar #7
19. oktober 2016 af Capion1

Jo, P ligger på cirklen og tangenten til P findes v.h.a. punktet P og retningsvektoren, som er lig med tværvektoren til radius, fra centrum til P.


Brugbart svar (1)

Svar #8
19. oktober 2016 af jantand

Du ken finde ligningen til tangenten, ved hjælp af vektoren fra centrum af cirklel til punktet P.

Retningen på linjen er vinkelret på denne vektor.

Prøv med y =- 3/4x+25/4  og se om det dur.


Svar #9
19. oktober 2016 af snilo (Slettet)

Nå, på den måde :) Tak for hjælpen 


Brugbart svar (0)

Svar #10
20. oktober 2016 af mathon

c)

Afstanden d fra cirkelcentrum (-3,4) til linjen 2x-5y-4=0
beregnes:
                         d=\frac{\left | 2\cdot (-3)-5\cdot 4-4 \right |}{\sqrt{2^2+(-5)^2}}=\frac{\left | -6-20-4 \right |}{\sqrt{29}}>5=r

hvorfor 
                 linjen  l: 2x-5y=4 er passant
                 dvs ikke har nogen skæringspunkter med cirklen (x+3)2 + (y-4)2 = 52.
                  


Brugbart svar (0)

Svar #11
20. oktober 2016 af mathon

d)
      En normalvektor til tangenten i P(-7,1)
      er 
              \overrightarrow{CP}=\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OC}=\begin{pmatrix} -7\\1 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} -3\\4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -4\\-3 \end{pmatrix}
      hvoraf
      en retningsvektor \overrightarrow{r}for tangenten er 

              \overrightarrow{r}=\widehat{\begin{pmatrix} -4\\-3 \end{pmatrix}}=\begin{pmatrix} 3\\ -4 \end{pmatrix}
Punkterne Q(x,y) på tangenten opfylder:

                \overrightarrow{OQ}=\overrightarrow{OP}+t\cdot \overrightarrow{r}

                 \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -7\\1 \end{pmatrix}+t\cdot \begin{pmatrix} 3\\-4 \end{pmatrix}

eller noteret:

                 (x,y)=(-7,1)+t\cdot (3,-4)
                   


Skriv et svar til: Cirklen og linje skærringspunkt

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.