Matematik

Forskrift for fjerdegradspolynomium

20. oktober 2016 af astridnn (Slettet) - Niveau: A-niveau

Jeg har i en aflevering fået til opgave at finde forskriften for et fjerdegradspolynomium. På grafen findes punkterne F(-49,46), E(27.9,41.9) og G(49,46). (Se vedhæftet billede) 

Derudover oplyses det at kurvens tangent i E danner en vinkel på 101,2* med linjestykket DE, og at kurven IH  har forskriften y=6*(sin(0.03x-π/2)+1). 

Jeg har aldrig haft om hverken tredje- eller fjerdegradspolynominer før, og er virkelig lost her... 


Brugbart svar (0)

Svar #1
20. oktober 2016 af jantand

For at lave et fjerdegradspolynomium kræves at du har fire ligninger for at danne det.

Fire ligninger med fire ubekendte.

Du har de tre punkter F, E, og G.

Så har du også tangenten til E.

Ligningen hedder. ax^4 +bx3 +cx2 +dx +e =y

Du sætter punkterne ind i ligningen , så er a, b, c, d og e de ubekendte. fordi der er 5 ubekendte får du også oplyst kurven IH . Den er den femte ligning . så kan du finde alle de ubekendte.


Brugbart svar (0)

Svar #2
20. oktober 2016 af Capion1

Sinuskurven IH er uden betydning for 4.gradskurven FEG
Vi har de tre punkter F, E og G samt hældningen for tangenten i E
Skal man antage, at 4.gradskurven skærer y-aksen i punktet (0 , 40) ?

 


Brugbart svar (0)

Svar #3
20. oktober 2016 af mathon


Brugbart svar (0)

Svar #4
20. oktober 2016 af jantand

Den skrærer i (0,40) så det er det femte punkt.


Brugbart svar (0)

Svar #5
20. oktober 2016 af mathon

              x^4a+x^3b+x^2c+xd+e=y

hvoraf
              \begin{Bmatrix} 5764801a-117649b+2401c-49d+e=46\\ 605922.1281a+21717.639b+778.41c+27,9d+e=41.9\\ 5764801a+117649b+2401c+49d+e=46\\ e=40 \\ \end{Bmatrix}


Brugbart svar (1)

Svar #6
20. oktober 2016 af Eksperimentalfysikeren

Der kræves 5 ligninger til at bestemme de 5 koefficienter i et 4.gradspolynomium.

De tre ligninger fås af de tre givne punkter. Oplysningen om vinklen i E er ikke noget værd, hvis ikke man kender hældningen af DE. Hvis man går strengt til værks, er der ikke oplysninger nok. Man må principielt ikke benytte tegningen, da den kan være behæftet med usikkerhed. Man må kun måle på en arbejdstegning, hvis man ikke har anden mulighed for at finde værdierne! Det er så desværre den situation, der er her, så problemet er, hvilke pålidelige oplysninger, der kan trækkes ud. Den simpleste er, at kurven skærer y-aksen i (0,40). En anden ting er, at kurven ser ud til at være symmetrisk om y-aksen. Deraf kan vi få koordinaterne til E's spejlbillede. Dermed har vi 5 punkters koordinatsæt. Indsæt dem i ligningen P(x) = y, hvorved der fremkommer 5 ligninger med 5 ubekendte. Disse ligninger løses.

Vi kunne også aflæse D's koordinater og så finde hældningen af DE. Ved hjælp af viklen i E kunne vi finde kurvens hældning i E. Den kan vi få et udtrykfor ved at differentiere udtrykket for P (det giver et 3. grads polynomium). Indsættes E's x-værdi i P' og sættes det lig med hældningskoefficienten i E, fås en ligning, der kan erstatte én af de ligninger, vi fandt før.


Brugbart svar (0)

Svar #7
20. oktober 2016 af mathon

Forlængelsen af DE ud over E skærer x-aksen i (42,0).

Ligningen for DE
er derfor:
                           DE\! :\; \; y=-2{,}97163x+124{,}80851

son har hældningsvinkel:
                                           v_{DE}=\tan^{-1}(-2{,}97163)=108{,}599^{\circ}

Retningsvinklen for tangenten i E
er derfor
                   108{,}599^{\circ}-101{,}2^{\circ}=7{,}4^{\circ}
hvorfor tangentens hældning
                                                \alpha =\tan(7{,}4^{\circ})=0{,}129858=4ax^3+3bx^2+2cx+d

dvs
          \begin{Bmatrix} 5764801a-117649b+2401c-49d+e=46\\ 605922.1281a+21717.639b+778.41c+27,9d+e=41.9\\ 5764801a+117649b+2401c+49d+e=46\\ e=40 \\4ax^3+3bx^2+2cx+d=0{,}129858 \end{Bmatrix}
 


Brugbart svar (0)

Svar #8
20. oktober 2016 af mathon

korrektion:

     \begin{Bmatrix} 5764801a-117649b+2401c-49d+e=46\\ 605922.1281a+21717.639b+778.41c+27,9d+e=41.9\\ 5764801a+117649b+2401c+49d+e=46\\ e=40 \\86870.556a+2335.23b+55.8c+d=0{,}129858 \end{Bmatrix}


Svar #9
20. oktober 2016 af astridnn (Slettet)

Mange tak for svarene! Jeg har fundet frem til et resultat som jeg vil aflevere. 

Vh. Astrid 


Brugbart svar (0)

Svar #10
20. oktober 2016 af Capion1

# 9
Vil du offentliggøre dit resultat for en, tror jeg, nysgerrig skare?


Skriv et svar til: Forskrift for fjerdegradspolynomium

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.