Matematik

Geometri og lineære ligningssystemer

21. oktober 2016 af miesim1 (Slettet) - Niveau: Universitet/Videregående

Jeg har følgende opgave:

For et tal a ∈ R er der i et sædvanligt retvinklet (x,y,z)-koordinatsystem i rummet givet fire planer α1, α2, α3, α4 ved ligningerne:

α1:   x+ay+a^2z=a^3

α2:   ay+(a-a^2)z=0

α3:   -x-a^2z=-a

α4:   x+2ay+az=a

Find den værdi af a for hvilken fællesmængden af punkter i de fire planer er en
ret linje, og angiv en parameterfremstilling for linjen.

Jeg tænker, at jeg måske skal have fat i retningsvektoren, men jeg er ikke sikker.

Jeg håber, I kan hjælpe mig :)


Brugbart svar (1)

Svar #1
21. oktober 2016 af mathon

Fællesmængden for to ikkeparallelle planer er en ret linje med krydsproduktet af planernes normalvektorer som retningsvektor.

Opgaven er altså fællesmængden for to i rummet rette linjer dvs deres skæringspunkt.


Svar #2
21. oktober 2016 af miesim1 (Slettet)

Det giver god mening, tak. Men hvad gør jeg, når der er fire planer?


Brugbart svar (1)

Svar #3
21. oktober 2016 af mathon

Tager dem to og to og finder en parameterfremstilling for sporet.

Skæringspunktet mellem de to spor er fællesmængden for de fire planer.


Svar #4
21. oktober 2016 af miesim1 (Slettet)

Super. Tusind tak! :)


Brugbart svar (0)

Svar #5
21. oktober 2016 af travian1 (Slettet)

Vil du evt prøve at forklare det med ander ord?


Brugbart svar (1)

Svar #6
21. oktober 2016 af mathon

Er de to spor ens dvs én og samme linje, er fællesmmængden en ret linje.

Din opgave er at finde den reelle a-værdi, der just muliggør dette.


Brugbart svar (0)

Svar #7
21. oktober 2016 af travian1 (Slettet)

Og hvordan ved man om de 2 spor er ens?


Brugbart svar (1)

Svar #8
21. oktober 2016 af mathon

Hvis retningsvektorerne er parallelle.


Brugbart svar (0)

Svar #9
21. oktober 2016 af travian1 (Slettet)

Hvordan finder jeg retningsvektorerne?


Svar #10
21. oktober 2016 af miesim1 (Slettet)

Jeg er gået i stå.

Jeg har fundet parameterfremstillingen for α1 og α2l_1: \begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a^3\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}+t\begin{pmatrix} -2a^3+a^2\\ a^2-a\\ a \end{pmatrix},

og parameterfremstillingen for α3 og α4l_2: \begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}+t\begin{pmatrix} 2a^3\\ -a^2+a\\ -2a \end{pmatrix}.

Hvad gør jeg herfra?

På forhånd tak.


Svar #11
21. oktober 2016 af miesim1 (Slettet)

Jeg har nu bestemt:

\left | \begin{pmatrix} -2a^3+a^2\\ a^2-a\\ a \end{pmatrix} \right \times\begin{pmatrix} 2a^3\\ -a^2+a\\ -2a \end{pmatrix}|=(5a^8-10a^7+6a^6-2a^5+a^4)^{0,5}

Dette sætter jeg lig nul og isolerer a:

(5a^8-10a^7+6a^6-2a^5+a^4)^{0,5}=0

a=0   \vee   a=1.

Er dette korrekt?


Brugbart svar (0)

Svar #12
21. oktober 2016 af Soeffi


Svar #13
21. oktober 2016 af miesim1 (Slettet)

#12

#0. Se evt. https://www.studieportalen.dk/forums/thread.aspx?id=1709253.

Det er den forrige opgave, altså opgave b i sættet. Jeg er ved opgave c.


Brugbart svar (0)

Svar #14
21. oktober 2016 af Soeffi

#13 Den værdi af a, der giver et punkt, er a=-1. Den værdi, der giver en linje er a=1. 

Svar #15
21. oktober 2016 af miesim1 (Slettet)

Er svar #11 så ikke korrekt?


Svar #16
21. oktober 2016 af miesim1 (Slettet)

Vil det sige, at jeg kunne have sprunget alle disse beregninger over?


Brugbart svar (0)

Svar #17
21. oktober 2016 af Soeffi


Svar #18
21. oktober 2016 af miesim1 (Slettet)

Men.. Jeg skal vel vise, hvordan jeg er kommet frem til løsningen, og ikke bare vise det i 3D?


Brugbart svar (0)

Svar #19
21. oktober 2016 af Soeffi

#18 Jeg er ikke sikker på teorien bag, men dette er mit gæt:

Du finder determinaneten af matricen, som du får af ligningssytemet: 

Du bemærker, at for ligningen det(matrixa) = 0 gælder:

a = 0 er tredobbeltrod (indikerer et plan)

a = 1 er dobbeltrod (indikerer en linje)

a = -1 er enkeltrod (indikerer et punkt)


Svar #20
21. oktober 2016 af miesim1 (Slettet)

Njae.. Jeg kan godt se, hvor du vil hen, men vi skal demonstrere vores kunnen inden for vektorregning i denne opgave, hvorfor din løsning nok er for smal. 

Er det helt forkert, at benytte Mathons metode?


Forrige 1 2 Næste

Der er 39 svar til dette spørgsmål. Der vises 20 svar per side. Spørgsmålet kan besvares på den sidste side. Klik her for at gå til den sidste side.