Matematik

Optimering af en kegles rumfang

22. oktober 2016 af cill3mus (Slettet) - Niveau: B-niveau

Hej deude til alle de kloge hoveder, jeg har her i ferien brudt min hjerne med en hjemme opgave ang. optimering af en kegles rumfang. Vi får ikke mange oplysninger at vide, men opgaven går ud på at fremstille en kegle ved at klippe et udsnit af en cirkel. Vi bestemmer selv cirklens radius på forhånd, og hvis vi nu siger den fx er 10 cm, hvordan finder jeg så ud af hvad keglens størst mulige rumfang er?

Tak på forhånd for jeres tid.

Brugbart svar (0)

Svar #1
22. oktober 2016 af AMelev

a på tegningen er radius i din cirkel, altså fx 10.
Brug Pythagoras til at udtrykke h ved r eller r ved h og indsæt det i formlen for keglerumfang, så du får en funktion af 1 variabel. Bestem max for funktionen på sædvanlig vis.
NB! Såvel r som h skal ligge mellem 0 og radius af den oprindelige cirkel (her 10).

Brugbart svar (0)

Svar #2
22. oktober 2016 af Capion1

Opstil rumfangsformlen for keglen som skal ligge til grund for beregningen.
Find buelængden af et cirkeludsnit, et stykke lagkage, med radius r og udsnitsvinkel u.
Denne buelængde skal være lig med omkredsen af keglens grundflade, og keglens sidelinje er lig med r.
Nu har man de størrelser, der skal bruges i rumfangsformlen.
Opstil nu, med en fastlagt værdi for r, rumfanget af keglen som funktion af u.

Brugbart svar (0)

Svar #3
22. oktober 2016 af mathon

   Du har sammenhængene:

                                                 R^2=h^2+r^2           hvor er radius i udsnitscirklen og er radius i
                                                                                    keglegrundfladen.

                                                  $V=\frac{\pi }{3}\cdot h\cdot r^2$
                         dvs
                                                  $V(h)=\frac{\pi }{3}\cdot h\cdot \left ( R^2-h^2 \right )$
                                                   $V{\, }'(h)=\frac{\pi }{3}\cdot (R^2-h^2)+\frac{\pi }{3}h\cdot \left ( 0-2h \right )$

$V{\, }'(h)=\frac{\pi }{3}R^2-\frac{\pi }{3}h^2-\frac{2\pi }{3}h^2$

$V{\, }'(h)=\tfrac{\pi }{3}R^2-\pi h^2$

ekstrema kræver:
$V{\, }'(h)=\tfrac{\pi }{3}R^2-\pi {h}^2=0$

$\pi {h}^2=\tfrac{\pi }{3}R^2$

${h}^2=\frac{R^2 }{3}$

${h}=\frac{\sqrt{3}R }{3}$

Keglehøjden for cirkeludsnittet med størst volumen
er:

${h}=\frac{\sqrt{3}R }{3}$
og grundfladeradius:
${r}=\sqrt{R^2-\frac{R^2 }{3}}=\sqrt{\frac{2}{3}}R$

Brugbart svar (0)

Svar #4
22. oktober 2016 af Capion1

Hensigten med # 2 er at lade opgavestilleren selv tage udfordringen op og prøve så langt, det er muligt, eller måske, i bedste fald, selv gå i mål. Er der forhindringer undervejs, vil vedkommende sikkert spørge igen og kan så få et puf derudad igen. Det er, så vidt jeg er orienteret, Studieportalens formål.

Brugbart svar (0)

Svar #5
22. oktober 2016 af AMelev

Samme hensigt med #1.

Skriv et svar til: Optimering af en kegles rumfang

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.