Matematik

Grænseværdien af funktioner af flere variable

23. oktober 2016 af KaspermedK - Niveau: Universitet/Videregående

Hej alle. En der lige kan give mig et hint i denne opgave? (Det er ikke nogen aflevering, blot fri lyst).

\lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)} \frac{sin(x\cdot y)\cdot cos(x+y)}{x\cdot y}

På forhånd tak!


Svar #1
23. oktober 2016 af KaspermedK

Okay, jeg har prøvet mig frem med L'Hôspital, først for x og så y. Jeg indsætter 0 i hhv. x og y, derved får jeg grænseværdien som er 1. Er det en korrekt måde at gøre det på? Det er jo et "0/0" udtryk. 


Brugbart svar (0)

Svar #2
23. oktober 2016 af peter lind

Nej dem går ikke. Der findes funktioner f(x,y) som har en græseværdi for x -> 0, y konstant og for y -> 0 x konstant og som ikke er kontinuert i (x, y) altså grænseværdiern for (x,y) -> (0, 0) ikke eksisterer.

I stedet

cos(x+y) -> 1 for (x,y) ->0

Sæt u = x*y Du har så sin(u)/u -> 1 for u -> 0


Svar #3
23. oktober 2016 af KaspermedK

Kan du specificere det lidt mere? Jeg er enig med dig i det første, at min første metode ikke går. Kan godt se det. ;-) 

Jeg er med på, at cos(x+y)->1, for (x,y)->0. 

Jeg står lidt af u=x*y, fordi u=0*0=0, dvs. sin(0)/0 hvordan kan den gå mod 1? for u->0? Måske ligger det lige til højrebenet, men hvis du lige losser mig i gang, så kører det bare, på forhånd tak! 


Svar #4
23. oktober 2016 af KaspermedK

Bruger du L'hôspital for sin(u)/u fordi differentierer du dem hver for sig får du cos(u)/1 hvoraf cos(0)/1=1??


Brugbart svar (0)

Svar #5
23. oktober 2016 af peter lind

Der gælder at u->0 for (x, y)-> (0, 0)

At sin(u)/u ->0 for u -> 0 er noget jeg kan huske. Det kan bevises med geometriske betragtninger eller med l'Hospitals regel


Svar #6
23. oktober 2016 af KaspermedK

Så det var korrekt af mig mht anvendelse af L'hôspital for sin(u)/u ?


Brugbart svar (0)

Svar #7
23. oktober 2016 af peter lind

ja


Svar #8
23. oktober 2016 af KaspermedK

Mange tak for hjælpen, Peter Lind! Jeg giver sgu en bajer i lufthavnen!


Skriv et svar til: Grænseværdien af funktioner af flere variable

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.