Matematik

Statistik

25. oktober 2016 af Lauramattesen (Slettet) - Niveau: Universitet/Videregående

Hej, er der nogen der kan hjælpe mig med disse to opgaver?
Se vedhæftet fil.

Vedhæftet fil: Skærmbillede 2016-10-25 kl. 12.22.50.png

Brugbart svar (0)

Svar #1
25. oktober 2016 af jantand

Har du ikke et program hvor du kan indtegne fordelingerne?

Brugbart svar (0)

Svar #2
25. oktober 2016 af Therk

Lidt notation. Lad K være dørkarmbredden og D være dørbredden og lad

$K \sim \mathcal N(61,0.3)$
og
$D \sim \mathcal N(60.6,0.15)$

Du skal finde

P(K<D)

sandsynligheden for at karmen er mindre end døren. Bemærk at

$P(K<D) = \int_{-\infty}^\infty P(K\leq d) \, \mathrm d F_D(d) = E[F_K(D)]$

Brugbart svar (1)

Svar #3
25. oktober 2016 af Therk

Væsentligt smartere er dog, set i retrospekt, at udnytte at summen af (uafhængige) normalfordelte variable også er normalfordelt. Dvs.

$P(K<D) = P(D-K>0) = 1- P(D-K\leq 0)$

Summen (differensen) af to uafhængige normalfordelte variable X og Y har fordeling

$X-Y = X+(-Y)\sim \mathcal N (\mu_X + (-\mu_Y), \sigma_X^2+\sigma^2_Y)$

Brugbart svar (0)

Svar #4
25. oktober 2016 af Therk

Til opgave b find $\mu_D$ så

$1-\operatorname{\Phi}\left( \frac{\mu_K - \mu_D}{\sqrt{\sigma_K^2+\sigma_D^2}} \right ) = \frac 1{100}$

hvor $\Phi(\cdot)$ er fordelingsfunktionen for en standard normalfordelt variabel og

$\begin{align*} \mu_K &= 61\\ \sigma_D &= 0.15\\\sigma_K &= 0.30\end{align*}$

Du må sige til, hvis du ikke er vant til den notation, jeg bruger; så må jeg uddybe.

Svar #5
25. oktober 2016 af Lauramattesen (Slettet)

Mange tak, jeg forstår dog ikke hvorfor det første giver 1/100 i opgave b?

Brugbart svar (0)

Svar #6
25. oktober 2016 af Therk

Vi sætter det lig 1/100, fordi vi skal finde det , så sandsynligheden for at døren er større end karmen er 1%. Glem altså at dørens middelværdi var 60.6 i opgave a!

Svar #7
25. oktober 2016 af Lauramattesen (Slettet)

Jeg er ikke helt vant til den notation du har gjort brug af i #4.. Kan du uddybe det lidt mere

Svar #8
25. oktober 2016 af Lauramattesen (Slettet)

Jeg har brugt denne formel i stedett: $xp=zp*\sigma +\mu$ = xp=1/100*0.3354+0.4=0,4033 cm

Kan det passe?

Brugbart svar (1)

Svar #9
25. oktober 2016 af Therk

Kan du forklare hvad du gør i #8?

Ang. #4:

Fra #3 har vi at

$P(K<D) = 1-P(D-K\leq 0)$

Vi benytter at differensen er normalfordelt med middelværdi $\mu_D-\mu_K$ og varians $\sigma_D^2+\sigma_K^2$ , dvs.

$P(D-K\leq 0) = P\left({\color{red}\frac{D-K -(\mu_D - \mu_K)}{\sqrt{\sigma_D^2+\sigma_K^2}}}\leq \frac{\mu_K-\mu_D}{\sqrt{\sigma_D^2+\sigma_K^2}}\right)$

(Træk middelværdi fra på begge sider og divider med spredningen). Nu er det røde en standardnormalfordelt variabel, da vi har normeret. Dvs. for

$Z\sim \mathcal N(0,1)$

$P(D-K\leq 0) = P\left(Z \leq {\color{blue}\frac{\mu_K-\mu_D}{\sqrt{\sigma_D^2+\sigma_K^2}}}\right)$

hvor du nu kan bruge at for en standard normalfordelt variabel gælder der at

$P(Z\leq x) = \int_{-\infty}^x \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-y^2/2}\, \mathrm dy \quad \stackrel{\text{def}}= \Phi(x)$

Beregn 1 minus integralet med det blå indsat på x's plads med et computerprogram for at finde P(K<D).

Svar #10
25. oktober 2016 af Lauramattesen (Slettet)

Ja dette er fremgangsmåden for opgave b.

Vedhæftet fil:Skærmbillede 2016-10-25 kl. 20.32.30.png

Brugbart svar (0)

Svar #11
26. oktober 2016 af Therk

Well, ja, det er ikke en forkert fremgangsmåde, men du bruger de forkerte tal:

z_p skal være 1%-fraktilen i en standard normalfordeling og ikke 1%. Slå den op eller få et program til at regne det for dig (det ligner du bruger Maple. I så fald benyt kommandoen herunder.

evalf(Statistics[Quantile](Normal(0,1),1/100));

μ skal ikke være differensen mellem middelværdierne, men middelværdien på dørkarmen. Se mine tidligere kommentarer.

Du skulle gerne komme frem til at dørens middelværdi skal være 60.21972.

Svar #12
28. oktober 2016 af Lauramattesen (Slettet)

Forstår ikke helt hvordan du får middelværdien til 60,21?

Svar #13
28. oktober 2016 af Lauramattesen (Slettet)

middelværdien er jo allerede angivet....

Svar #14
28. oktober 2016 af Lauramattesen (Slettet)

Hov kan godt se hvad du har lavet nu. Men hvordan kan det være at du kun tager middelværdien for dørkarmen og tager spredningen for både dørkarm og bredden af døren?

Brugbart svar (0)

Svar #15
29. oktober 2016 af AMelev

$P(D_{ny}-K\leq 0) = P\left(Z \leq {\color{blue}\frac{\mu_K-\mu_D_{ny}}{\sqrt{\sigma_D^2+\sigma_K^2}}}\right)$
Sæt $x=\color{blue}\frac{\mu_K-\mu_D_{ny}}{\sqrt{\sigma_D^2+\sigma_K^2}}$
Bestem x, så P(Z < x) = 1% (x = -2.32654)
NB! Da normalfordelingen er kontinuert, er det ligegyldigt, om du bruger < eller ≤.

Løs derefter ligningen mht. $x=\frac{\mu_K-\mu_D_{ny}}{\sqrt{\sigma_D^2+\sigma_K^2}}$ mht. $\mu_D_{ny}$ , så passer pengene.

Svar #16
29. oktober 2016 af Lauramattesen (Slettet)

Af Therk har jeg lige fået at vide at jeg ikke skal finde forskellen af middelværdierne men kun bruge den for dørkarmen..

Brugbart svar (0)

Svar #17
31. oktober 2016 af Therk

I opgave b skal du løse ligningen (FIND μ_Dny)

$x_p = \frac{\mu_K - \color{red}\mu_{Dny}}{\sigma}$

hvor

$\begin{align*} \mu_K &= 61 \\ \sigma &= \sqrt{\sigma_D^2+\sigma_K^2}\\x_p &= -2.326 \qquad \text{(}1\% \text{-fraktil i std. normalfordeling)} \end{align*}$

fuldstændig som AMelev skriver, og i fuldstændig sammenhæng med hvad jeg skriver tidligere. Ift. din beregning i #10 svarer det til at rette z_p til den korrekte værdi og kun bruge μ_K i beregningen. En god grund til at sørge for at have både venstre og højre side med altid.

Skriv et svar til: Statistik

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.