Matematik: Mændelære (uni begynder)

Undlad gerne at skrive "haster" i din overskrift. Du vil vel ikke lade det virke som om din tid er vigtigere end vores? :)

#1 Sorry!

Hint:

Kan du sige/vise noget om herunderstående?

Vis at  

Tak for svar. Kan du uddybe? 

Jeg tror det er:

Jeg er sikkert nok på vild spor.. 

Fællesmængden

Konklusion?

Den anden vej er triviel.

Right. Fjern limes. Hvad ved du om den disjunkte mængde for k = 1? Hvad med k = 2? Og for et vilkårligt k? Med svar på de spørgsmål, hvad sker der, når du så tager grænseværdien på igen? Hint: Se svar #4.

Jeg ved, at A∩B=Ø, så er A og B disjunkte. Men for k=1 så er det vel den maksimale værdi den kan nå? Dvs.

Dvs.

For k=1 jo. Hvis k=2 kan n være både 1 og 2? 

Ja. Og hvad er

? Kan du fortsætte?

Kan du sige noget om hvordan A₁ og A₂ forholder sig til hinanden? Er den ene en delmængde af den anden? Hvad med A₁ og A_k for et vilkårligt k?

Om den første:

A_n = [-1;1-1/n] . Da 1/1 > 1/n for alle n større end 1, er 1-1/1 = 0 den mindste øvre grænse for intervallerne og da de har samme nedre grænse, gælder der at A_n⊂A_m for n<m. Fællesmængden af to mængder, B og C, for hvilke det gælder, at B ⊂ C er lig B. Derfor er den angivne fællesmængde lig med A₁.

Okay, jeg siger k=3, så er

Og jeg ved godt, at hvis vi sender k mod uendeligt, så må vi jo få det jeg påstår, nemlig [-1;0], men hvordan skal jeg skrive det op? Har leget lidt med noget her:

Forresten al respekt til jer at hjælpe mig!

Og du er bestemt på rette vej, men ja, du mangler lige det afgørende argument. Problemet er måske her at din underviser har taget ret trivielle mængder. Anyways, lad os prøve at få det formelle argument på plads.

Er der et af følgende udsagn, der er sandt? Hvad sker der med sådanne mængder, når du tager fællesmængde og forening?

Den øverste 

Må altså være for foreningsmængden, hvoraf 

Må være fællesmængden. Hvorfor? Fordi  er den mindste værdi man kan antage? Hvor i foreningsmængden må det være (i følge dine udsagn) 

Håber det gav mening.

Hmm, det er ikke helt rigtigt forstået af subset-tegnet. betyder at A er en delmængde af B og derved at ethvert element i A også ligger i B.

Vi er så heldige i denne opgave at

Men fællesmængden af to mængder, hvoraf den ene mængde er i den anden mængde er blot den mindste mængde. Dvs. symbolsk,

og generelt, for ethvert k>j gælder der i vores tilfælde at

Den sidste linje er sådan set nok til at sige at fællesmængden af alle A'erne er A₁ = [1;0].

Du kan evt. erstatte A'erne med de mængder, der repræsenterer, hvis du hellere vil det.

Til foreningsmængderne, lav samme type observation. Mængderne forholder sig stadig på samme måde ift. hinanden, men nu gælder der at . Så denne gang skal du lade k løbe mod uendeligt for at finde den fulde mængde! Dvs. argumentér på samme måde som ovenstående og find

(som du allerede gjorde i #0).

Lad A_n = [-1, 1 - 1/n] for alle n≥1. For at vise ∩_n^∞A_n ⊆ [-1,0], dvs. hvis x∈∩_n^∞A_n, så er x∈[-1,0], kan du vise det ved kontraposition, at hvis x∉[-1, 0], så er x∉∩_n^∞A_n. Benyt definitionen for ∩_n^∞A_n, og du er færdig (hvorfor?). For den omvendte inklusion, er det ret let at vise. Prøv.

A₁∩A2 = A₁ eller mere detailleret:

A₁∩A₃ = A₁ eller mere detailleret:

Hvert trin giver den samme fællesmængde, så det gør ∩_n=1^∞A_n også.