Matematik

Negativt areal?

28. oktober 2016 af Rezwan963 - Niveau: B-niveau

Der er en ting, jeg ikke forstår. Når vi har at gøre med bestemt integral i integralregning, så er der en regneregel til negativt areal.

Men vores lærer har understreget, at et areal aldrig kan være negativt.

Hvorfor er der så en regneregel til negativt areal?

På forhånd, tak!


Brugbart svar (0)

Svar #1
28. oktober 2016 af fosfor

Integralet af en function er ikke arealet under grafen!

Integralet af en function er arealet under den positive del af graden MINUS arealet over den negative del af grafen.


Svar #2
28. oktober 2016 af Rezwan963

#1

Jeg har vedhæftet et billedeksempel;

Vi er enige om, at vi vil finde arealet af det røde område på billed 2, ikke? Selv hvis vi trækker det lille område under den negative del af grafen fra det store område under den positive del af grafen, så får vi stadig et positivt areal?

Vedhæftet fil:2-52.png

Brugbart svar (0)

Svar #3
28. oktober 2016 af Capion1

Lad f (c) = 0  ∧  a < c < b
Da skal du integrere fra a til c og tage den numeriske værdi.
Integrer også fra c til b og læg de to positive tal sammen.


Svar #4
28. oktober 2016 af Rezwan963

#3

Den forstod jeg ikke helt. Hvad er vores c-værdi?

Og hvis vi lægger to positive tal sammen, får vi et positivt resultat?


Brugbart svar (0)

Svar #5
28. oktober 2016 af fosfor

#2 Du får ikke et areal, ved mindre du har vist at du kun integrere over et interval hvor funktionen er positiv. Dette kan ikke vises i det røde tilfælde.

Hvis du vil have det røde areal skal du integrere abs(f(x)) fra a til b.


Svar #6
28. oktober 2016 af Rezwan963

Okay, nu er jeg helt blank.

Er godt klar over, at jeg skal integrere, hvis jeg skal finde arealet af en funktion i område mellem a til b. Men når det kommer til negativt areal, så er jeg helt blank.

Måske skulle I skære det ud i pap for mig?


Brugbart svar (1)

Svar #7
28. oktober 2016 af fosfor

#6 For at finde arealet skal du ikke integrere funktionen, men derimod dens absolutte værdi, abs(f(x)).

Der findes ikke negativt areal. Og når du integrerer noget negativt ophører arealfortolkningen. Det er derfor figuren sider at det røde integrale ikke er et areal.


Brugbart svar (0)

Svar #8
28. oktober 2016 af Capion1

Find det punkt (c , 0) , hvor f skærer x-aksen og følg # 3.


Brugbart svar (0)

Svar #9
28. oktober 2016 af Capion1

# 0
En punktmængde kan sagtens ligge under x-aksen og have et areal.
Opgaven er, efter min opfattelse, at finde arealet af det røde område under, plus det røde område over x-aksen.
Hvis en funktion er negativ i hele integrationsintervallet, vil værdien af det bestemte integral blive negativ, men dermed ikke sagt at punktmængden ikke har et areal. Derfor skal man tage den numeriske værdi af alt, hvad der integreres under x-aksen.
Hvis man integrerer fra a til b i én handling, vil det bestemte integral have værdien af forskellen mellem dét, der ligger over, og dét der ligger under x-aksen.
Vil derfor anbefale handlingen i # 3, som så er

| ac f(x) dx | + cb f(x) dx


Brugbart svar (0)

Svar #10
28. oktober 2016 af AskTheAfghan

#3    (Edit: Forstår hvad du mener efter at have tjekket billedet i #2).

#0     Du har f.eks. f(x) = x2 - 1. Overbevis dig selv, at f er negativ på [-1, 1], og er ellers positiv.

Her er -11 f(x) dx = -4/3. Arealet af det området i 3. og 4. kvadrant, der er afgrænset af grafen og x-aksen er bestemt ved |-11 f(x) dx| = 4/3.


Brugbart svar (0)

Svar #11
28. oktober 2016 af Capion1

# 10
Vedr. # 3      # 3 som det der er skrevet og senere # 9.


Brugbart svar (0)

Svar #12
29. oktober 2016 af Eksperimentalfysikeren

Du skriver, at der er regler for regning med negativt areal, mens din lærer siger, at der ikke findes negative arealer. Det hænger sammen med, at nogle matematikere siger som din lærer, mens andre betragter det som værende praktisk at kunne regne med negative arealer, f.eks. ved det røde tilfælde. For nogle er det nærmest et sekterisk problem. Det klogeste, du kan gøre, er at lade være at sige din lærer imod, og så selv vælge dit standpunkt.


Brugbart svar (0)

Svar #13
29. oktober 2016 af Capion1

.SP 2910161459.PNG

Vedhæftet fil:SP 2910161459.PNG

Brugbart svar (0)

Svar #14
29. oktober 2016 af Capion1

Ækvator deler en kaffeplantage i Kenya i to stykker.
Arealet af kaffeplantagen er lig med arealet af plantagen nord for ækvator plus
arealet af plantagen syd for ækvator.
Karen Blixen ville vel ikke have sagt, at den sydlige del af plantagen har et negativt areal.


Brugbart svar (0)

Svar #15
29. oktober 2016 af AMelev

Længder af 1D-punktmængder (linjestykker), arealer af 2D-punktmænger og rumfang af 3D-punktmængder kan i sagens natur ikke være negative.

Sætningen a)  Areal =\int_{a}^{b}f(x)dx gælder kun, hvis f(x) ≥ 0 i [a,b]. Denne forudsætning er fundamental for bevisførelsen for sætningen.

b) Hvis f(x) < 0 i [a,b], vil -f(x) > 0 i [a,b] og grafen for -f er en spejling i 1.aksen af grafen for f.
Den punktmængde, M-f, der ligger under -f grafen og over 1.aksen mellem a og b har samme areal som den punktmængde Mf, der ligger er ligger over f grafen og under 1.aksen mellem a og b 
Sætningen a) vil kunne anvendes på M-f, da -f er ikke-negativ, så
{\color{Red} Areal(M_{f}) }=Areal(M_{-f}) =\int_{a}^{b}-f(x)dx={\color{Red} -\int_{a}^{b}f(x)dx}
Hvis grafen for en funktion svinger om 1.aksen, må man dele op i intervaller, hvor f er positiv hhv. negativ (dvs. bestemme nulpunkter) og så lægge arealerne af de forskellige punkrmængder sammen.


Hvis du regner med negative arealer, får du problemet med det samlede areal, som #14 anfører.

Vedhæftet fil:Arealer.JPG

Brugbart svar (0)

Svar #16
29. oktober 2016 af Capion1

# 15     nederst med integralleddene: Det første bestemte integral længst til venstre skal slettes.
I.ø. enig.
 


Brugbart svar (0)

Svar #17
29. oktober 2016 af Eksperimentalfysikeren

#14 Omkredsen af plantagen er ikke nogen funktion, hvorfor sammenligningen ikke holder.

#15 "I sagens natur". Den holder ikke. Der er ikke tale om, at man kan bevise, at en længde, et areal eller et rumfang ikke kan være negativt. Det er et spørgsmål om definition. I fysikken regner man faktisk med negative længder. F.eks. er tilvæksten af den potentielle energi af en masse, m, i tyngdefeltet, når massen løftes strækningen s lig med m*g*s. Hvis massen sænkes, regnes s negativ og tilvæksten bliver negativ.

Om den symmetriske figur. Vi vælger et tal K som er større end maksimum for f. Så definerer vi to funktioner g(x) = K + f(x) og h(x) = K-f(x).

Arealet mellem de to funktioner og a og b kan så fås af:

A = \int_{a}^{b} g(x)-h(x)dx\\ = \int_{a}^{b}g(x)dx - \int_{a}^{b}h(x)dx\\ = \int_{a}^{b}K dx + \int_{a}^{b}f(x)dx - (\int_{a}^{b}K dx + \int_{a}^{b}-f(x)dx)\\ = \int_{a}^{b}f(x)dx - \int_{a}^{b}-f(x)dx

Det ses, at K går ud. Hvis vi regner med negative arealer, vil K ikke behøve at være større end maksimum af f.

Om den sidste figur. Hvis du vil have det samlede areal, som du viser, er det en opgave, der ikke kan løses med negative arealer. Du stiller et krav om, at alle arealerne skal regnes positive, og så kan man selvfølgelig ikke regne nogen af dem negative.

Der er i tidens løb sket flere tilsvarende ting med tilsvarende opstandelse. "Man kan ikke regne med enheder" fik jeg at vide mange gange i min skoletid. I dag gør man det som rutine i fysikken. "En temperatur kan da ikke være negativ". "Man kan jo ikke uddrage kvadratroden af et negativt tal, hvordan kan man så tale om en imaginær enhed, der opløftet til anden potens give minus én?"

I regnskabsføring har man i hvert fald tidligere ikke accepteret negative tal. Det kunne i visse tilfælde give anledning til regler som "hvis a er større end b, skal a-b skrives i kolonne 1, ellers skal b-a skrives i kolonne 2" Det gør man normalt ikke i matematikken, man skriver a-b, uafhængigt af, om det er positivt eller negativt. Det er meget nemmere.


Svar #18
29. oktober 2016 af Rezwan963

Det I gør nu, er at forvirre mig helt, haha.

Er der en, der kan komme med en forklaring, de er 100 på, er rigtig, og evt. en meget detaljeret og ikke-matematisk forklaring, så jeg kan forstå det?

Mange tak.


Brugbart svar (0)

Svar #19
29. oktober 2016 af Capion1

# 17 første linje:  # 14 omtaler ingen omkreds af plantagen.


Brugbart svar (0)

Svar #20
29. oktober 2016 af Capion1

# 17  Hvilket fortegn vil man sætte på et rumfang af f.eks. den plane punktmængde
{ (x , y) | 0 ≤ x ≤ 1  ∧  - 1 ≤ y ≤ 0 }
ved 360º rotation om x-aksen?
Og hvorfor?    


Forrige 1 2 Næste

Der er 23 svar til dette spørgsmål. Der vises 20 svar per side. Spørgsmålet kan besvares på den sidste side. Klik her for at gå til den sidste side.