Begrænset vækst??

Er nedenstående beskrivelse korrekt?

Formlen til begrænset vækst er: dy/dx = a · (M - y)

Hvis vi kender væksten/P-konstanten, a og maksimalværdien, M kan vi sætte disse værdier ind i løsningsformlen: f(x) = y = M · (1 – e^{-a · x})

Et eksempel på det kunne være skarvpar. På en tom ø sætter man nogle skarvpar ud. Man antager, at der højst vil være 200 skarvpar på øen. Derfor kan man opstille en differentialligning, der kan vise udviklingen i antal skarvpar (y) år for år. Den uafhængige variabel, x kan angive antal år efter 2009, for eksempel.

                    
med

løsningsformlen: f(x) = y = M · (1 + e^{-a · x})

Differentialligningen opstår ved, at væksthastigheden antages at være proportional med forskellen mellem antallet y og en øvre antalsgrænse M. Proportionalitetsfaktoren er a.

Jeg er ikke enig i den angivne løsningsformel - der er mange løsninger..
Løsningsformlen er y = c·e^−a·x + M, hvor c-værdien afhænger af startværdien, y(0) = c + M. 
Hvis c = -M, dvs. f(0) = 0, fås løsningsformlen i #2.
Den egentlige Bertalanffy ligning hedder y = M · (1 – e^{-a ·(x-x0)}), hvor x0 er nulpunktet for y.

Løsningsformlen i #3 fås for c = M dvs. f(0) = 2M, men det holder ikke for begrænset vækst.

Den fuldstændige løsning 
er: